Stel dat A-1A = I en AX = B, vierkante matrices.
Dan AX=B => A-1AX = A-1B => X = A-1B
=> AX = AA-1B en dus zou ook moeten gelden dat AA-1 = I
Nu is mijn vraag, betekent dit dat A-1A = I => AA-1 = I ? En zoniet, kan iemand mij vertellen waarom niet?
Alvast bedankt.
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[Wiskunde] Inverse matrix
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.224
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Nu is mijn vraag, betekent dit dat A-1A = I => AA-1 = I
Correct, behalve dan het gebruik van het wiskundig teken '=>' (het een is niet een gevolg van de ander; ze zijn beiden altijd waar indien A een niet-singuliere matrix is)
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton
-
- Berichten: 71
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Dus dat stukje daarboven (met AX = B) impliceert net dat A inverteerbaar (of niet-singulier) is, en vandaar het gevolg? Op welke manier wordt dit dan geimpliceerd?
De reden waarom ik hier zo nauw op inga is de volgende. In een bepaalde cursus heb ik gemerkt dat men voldoende voorwaarde voor inverteerbaarheid stelt dat A-1A = I, mag ik dan aannemen dat dit niet klopt?
De reden waarom ik hier zo nauw op inga is de volgende. In een bepaalde cursus heb ik gemerkt dat men voldoende voorwaarde voor inverteerbaarheid stelt dat A-1A = I, mag ik dan aannemen dat dit niet klopt?
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Ik snap je probleem niet helemaal. Als A-1 überhaupt bestaat dan is A toch de facto al inverteerbaar! Dus als er voor A geldt dat A-1A = I, dan is A inderdaad inverteerbaar (dat klopt wel). Dat is overigens een equivalentierelatie, en niet louter een implicatie. Hoewel matrices in het algemeen niet commutreren, geldt dat wel voor inverse matrices. Als A inverteerbaar is geldt dus altijd dat A-1A = I = AA-1TomMe schreef:Dus dat stukje daarboven (met AX = B) impliceert net dat A inverteerbaar (of niet-singulier) is, en vandaar het gevolg? Op welke manier wordt dit dan geimpliceerd?
De reden waarom ik hier zo nauw op inga is de volgende. In een bepaalde cursus heb ik gemerkt dat men voldoende voorwaarde voor inverteerbaarheid stelt dat A-1A = I, mag ik dan aannemen dat dit niet klopt?
-
- Berichten: 71
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Deze definitie komt uit een cursus algebra (en vind ik overal op het web terug in vergelijkbare vorm):
Misschien was ik wat onduidelijk omdat ik reeds de notatie A-1 gebruikte terwijl ik niet veronderstel dat A inverteerbaar is. Dit komt omdat ik een boekje uit de middelbare school hierbij gebruikte. Bij deze is dat dus hopelijk opgeklaard.
Nu vraag ik mij enkel af wat er aan de hand is wanneer je enkel weet dat A-1A = I. Of beter: BA = I.Zij A een vierkante matrix. Men zegt dat A inverteerbaar is als er een vierkante matrix B bestaat zodat
AB = BA = I
Men noteert de matrix B als A-1 en men noemt deze de inverse van A.
Misschien was ik wat onduidelijk omdat ik reeds de notatie A-1 gebruikte terwijl ik niet veronderstel dat A inverteerbaar is. Dit komt omdat ik een boekje uit de middelbare school hierbij gebruikte. Bij deze is dat dus hopelijk opgeklaard.
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Ik denk dat ik je nu begrijp, maar je hanteert wel opnieuw dezelfde 'eerder ongelukkige' notatie.
Veronderstel dus dat we een matrix B vinden waarvoor geldt BA = I
Jouw vraag is nu of dit al voldoende is om te stellen dat B dan A-1 is, en er dus eveneens geldt dat AB = I en dus A inverteerbaar.
Volgens mij volstaat dit inderdaad. De volgende eigenschappen zijn namelijk equivalent:
- A is regulier
- A heeft een linksinverse
- A heeft een rechtsinverse
A is dus de matrix van een isomorfisme en de linksinverse zal automatisch gelijk zijn aan de rechtsinverse, A-1 genoteerd.
Veronderstel dus dat we een matrix B vinden waarvoor geldt BA = I
Jouw vraag is nu of dit al voldoende is om te stellen dat B dan A-1 is, en er dus eveneens geldt dat AB = I en dus A inverteerbaar.
Volgens mij volstaat dit inderdaad. De volgende eigenschappen zijn namelijk equivalent:
- A is regulier
- A heeft een linksinverse
- A heeft een rechtsinverse
A is dus de matrix van een isomorfisme en de linksinverse zal automatisch gelijk zijn aan de rechtsinverse, A-1 genoteerd.
-
- Berichten: 71
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Inderdaad!TD schreef:Ik denk dat ik je nu begrijp, maar je hanteert wel opnieuw dezelfde 'eerder ongelukkige' notatie.
Veronderstel dus dat we een matrix B vinden waarvoor geldt BA = I
Jouw vraag is nu of dit al voldoende is om te stellen dat B dan A-1 is, en er dus eveneens geldt dat AB = I en dus A inverteerbaar.
Hm, heeft linksinvers en rechtsinvers soms iets te maken met injectief en surjectief? Ik heb overlaatst nog bewezen (hopelijk) dat een injectieve/surjectieve lineaire afbeelding van V->V met dim(V)=n bijectief is. Misschien zou ik dat dan kunnen gebruiken voor een bewijs hiervan?Volgens mij volstaat dit inderdaad. De volgende eigenschappen zijn namelijk equivalent:
- A is regulier
- A heeft een linksinverse
- A heeft een rechtsinverse
A is dus de matrix van een isomorfisme en de linksinverse zal automatisch gelijk zijn aan de rechtsinverse, A-1 genoteerd.
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Ja hoor, die zijn hier inderdaad equivalent.
Als je injectiviteit of surjectiviteit hebt, dan ook automatisch de andere en dus bijectiviteit.
Als je injectiviteit of surjectiviteit hebt, dan ook automatisch de andere en dus bijectiviteit.
-
- Berichten: 71
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Ok, bedankt voor de hulp! Nu begrijp ik het alleszins wat beter. 
-
- Berichten: 71
Re: [Wiskunde] Inverse matrix
Nog een klein vraagje. Hoe kan ik precies de rechts(links-)inverse van een matrix identificeren met de rechts(links-)inverse van een afbeelding?
