Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

motionpictures88

Hallo,

In mijn cursus wordt de oplossing van volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld besproken:

2xdy+ydx=0

We pakken dit aan door de veranderlijken te scheiden en daarna te integreren

scheiden geeft: (2/y)dy=(-1/x)dx

integreren per veranderlijke levert: ln(y^2)+ln(|x|)=C met C element van R

Hierna wordt deze algemene oplossing uitgewerkt:

ln((y^2)*|x|)=C

<=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R

<=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0

Ik heb deze uitwerking letterlijk uit mijn cursus dus er zullen geen fouten inzitten

Wat ik niet snap is het equivalentieteken (<=>) die ik in vet gezet heb.

Ik weet dat er door die overgang een singuliere oplossing ontstaat maar hoe kan deze overgang verantwoord worden?

Welke bewerking is op beide leden uitgevoerd om aan die laatste uitdrukking te komen?

Bedankt aan alle liefhebbers!

TD

motionpictures88 schreef:(1) <=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R

(2) <=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0

Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?

motionpictures88

Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?

inderdaad, excuseer, ik had daarover gekeken bij het overlezen!

TD

Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiële functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.

motionpictures88

Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiële functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.

Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C zijn dezelfde namelijk R+(positieve reële getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.

Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?

TD

Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C* zijn dezelfde namelijk R+(positieve reële getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.

Vergeet de * niet, met C in R en C* strikt positief.

Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?

De exponentiële functie is strikt positief, wordt nergens 0.

motionpictures88

De exponentiële functie is strikt positief, wordt nergens 0.

Ok dus net zoals je een singuliere oplossing krijgt door te delen door y en bijgevolg 0 te moeten uitsluiten, zal je hier nul moeten uitsluiten door de redenering (integendeel tot delen door y waar een bewerking de oorzaak is)

Alweer bedankt voor de uitleg!

TD

Het is dus niet echt uitsluiten, maar een uitdrukking vervangen door een gelijkwaardige uitdrukking. Kortweg zegt men soms "e^c met c een willekeurige constante is weer een constante", maar preciezer is deze laatste een strikt positieve constante omdat e^c strikt positief is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)

Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)