Homogene lineaire dv 1e orde

MathieuA

Eigenschap 1: De algemene oplossing van een lineaire homogene DV ay'+by=0 met constante coëfficiënten is gegeven door y(t) = C * e^rt met C een willekeurige constante en r = -b/a

Bepaal de oplossing van de DV 3y'+2y=0 met beginwaarde y(0)=10

Dit doe ik.

3dy/dx+2dy=0 --> (3dy)/2y=-dx --> 3/2 * ln|y| + Cy = -x + Cx -->

(1)ln|y| = -2/3*X + C

Of

(2)ln|y|= -2/3 *X + 2/3*C?

Als ik (1) verder uitreken dan kom ik y = e^(-2/3*X + C) uit en niet y = C* e^(-2/3x) zoals in eigenschap 1 beschreven.

Graag een beetje hulp

en alvast bedankt voor jullie antwoord!

TD

Gebruik rekenregels van machten om e^C af te zonderen, dit is opnieuw een constante die ik c noem:

\({e^{ - \frac{2}{3}x + C}} = {e^C}{e^{ - \frac{2}{3}x}} = c{e^{ - \frac{2}{3}x}}\)

317070

Als ik (1) verder uitreken dan kom ik y = e^(-2/3*X + C) uit en niet y = C* e^(-2/3x) zoals in eigenschap 1 beschreven.

Hoogstwaarschijnlijk moet je je berekening nog eens bekijken en uitkomen:

|y| = e^(-2/3*X + C)

toch?

dan is

y= +- e^(-2/3*X + C)

y= +- e^(-2/3*X)* e^C

y= +-e^C * e^(-2/3*X)

Dan zie je dat je +-e^C als nieuwe constante kunt nemen, meestal noemt men deze opnieuw C, of om verwarring te vermijden C' met C' reëel ZONDER NUL

Dan is y= C' * e^(-2/3*X)

Meestal kun je dan ook eenvoudig aantonen dat y=0 ook een oplossing is, en dan is C' reëel.

MathieuA

Bedankt!

Is dit dan het antwoord of moet ik de constante nog bepalen hoeveel het is?

TD

De waarde van de constante kan je bepalen aan de hand van de gegeven beginwaarde.

MathieuA

Ik heb de afgeleide gezocht en het ingevuld.

dan kom ik -2C*e^(-2x/3) + 2C*e^(-2x/3) = 0 dit klopt inderdaad. Maar ik heb y(0) = 10 nergens gebruikt? :s

Waar moet ik dit gebruiken?

TD

Je oplossing bevat nu nog die constante C. Gebruik de eis dat y(0) = 10 (gewoon invullen, bij x = 0 hoort y = 10) om C te bepalen.

MathieuA

In plaats van een nieuw topic aantemaken. Zal ik het hier melden.

Hoe ziet de particuliere oplossing van de DV ay'+by=c? als b = 0?

(zelfstudie en moet alles opzoeken. Geen idee meer dus plaats ik het hier)

Groetjes

TD

Weet je hoe je een particuliere oplossing kan bepalen, ken je daar al een methode voor?

MathieuA

Bij de 2e orde hebben we al iets gezien. Maar 1e orde, geen idee. Ik denk dat dit hetzelfde is ongeveer.

TD

Wat heb je dan gezien?

MathieuA

Bijvoorbeeld:

y"-4y'+4y=e^2x

Yp=A*e^2x*x^2

x^2 krijgt men omdat e^2x twee maal voorkomt in de homogene vergelijking Yh

A zoeken en dan heb je Yp. (particuliere vergelijking)

TD

Inderdaad. En van welke vorm is het rechterlid in deze opgave? Stel opnieuw een particuliere oplossing van die vorm voor.

MathieuA

In deze opgave is het gewoon met getallen. Daarom dat ik het helemaal niet weet.

Hoe ziet de particuliere oplossing van de DV ay'+by=c? als b = 0?

TD

Stel opnieuw een particuliere oplossing voor van dezelfde vorm; als het rechterlid een getal is (dus een constante), stel dan ook voor: y_p = A met A een te bepalen constante. Substitueer in de differentiaalvergelijking om die A te bepalen. Bekijk daarna het geval van b = 0.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Homogene lineaire dv 1e orde

Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde

Re: Homogene lineaire dv 1e orde