Inductie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 24
Inductie
Hallo,
Ik wil een aantal dingen bewijzen met behulp van inductie.
Alleen weet ik niet helemaal hoe het in zijn werk gaat.
Zo wil ik bijvoorbeeld bewijzen; n^ 2 > n+1 voor n >= 2
dan hebben we het predikaat P(n) = n^2 > n+1 en dan denk ik met n0 = 2
Dan moet ik eerst laten zien dat P(2) waar is. Dat is simpel want 4 > 3.
Maar daarna moet ik laten zien dat voor k >= 2, als P(k) waar is dat P(k+1) ook waar moet zijn.
Ik weet niet helemaal hoe ik dat moet doen.
k^2 > k+1 ... (k+1)^2 > k +2
Kan iemand me hiermee helpen?
Ik wil een aantal dingen bewijzen met behulp van inductie.
Alleen weet ik niet helemaal hoe het in zijn werk gaat.
Zo wil ik bijvoorbeeld bewijzen; n^ 2 > n+1 voor n >= 2
dan hebben we het predikaat P(n) = n^2 > n+1 en dan denk ik met n0 = 2
Dan moet ik eerst laten zien dat P(2) waar is. Dat is simpel want 4 > 3.
Maar daarna moet ik laten zien dat voor k >= 2, als P(k) waar is dat P(k+1) ook waar moet zijn.
Ik weet niet helemaal hoe ik dat moet doen.
k^2 > k+1 ... (k+1)^2 > k +2
Kan iemand me hiermee helpen?
- Berichten: 3.112
Re: Inductie
Verhoog n met 1.BriAnne schreef:Hallo,
Ik wil een aantal dingen bewijzen met behulp van inductie.
Alleen weet ik niet helemaal hoe het in zijn werk gaat.
Zo wil ik bijvoorbeeld bewijzen; n^ 2 > n+1 voor n >= 2
dan hebben we het predikaat P(n) = n^2 > n+1 en dan denk ik met n0 = 2
Dan moet ik eerst laten zien dat P(2) waar is. Dat is simpel want 4 > 3.
Maar daarna moet ik laten zien dat voor k >= 2, als P(k) waar is dat P(k+1) ook waar moet zijn.
Ik weet niet helemaal hoe ik dat moet doen.
k^2 > k+1 ... (k+1)^2 > k +2
Kan iemand me hiermee helpen?
Kunnen we dan uit n2 > n+1 bewijzen, dat
(n+1)2 > (n+1) + 1?
Trek beide ongelijkheiden van elkaar af: 2n + 1 > 1 en dat is waar voor elk natuurlijk getal > 0.
Dus als n2 > n+1 waar is voor zeker positief getal, dan is
(n+1)2 > (n+1) + 1 dat ook.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Inductie
Dit bewijs is niet correct. Je maakt gebruik van een ongelijkheid die moet worden aangetoond.thermo1945 schreef:Verhoog n met 1.
Kunnen we dan uit n2 > n+1 bewijzen, dat
(n+1)2 > (n+1) + 1?
Trek beide ongelijkheiden van elkaar af: 2n + 1 > 1 en dat is waar voor elk natuurlijk getal > 0.
Dus als n2 > n+1 waar is voor zeker positief getal, dan is
(n+1)2 > (n+1) + 1 dat ook.
- Berichten: 7.224
Re: Inductie
Wat is er dan mis met het bewijs? Een bewijs door inductie bestaat uit twee stappen. BriAnne laat in zijn/haar bericht zien dat er een n (in dit geval 2) zien dat de ongelijkheid geldt. Vervolgens laat Thermo zien dat als de ongelijkheid geldidg is voor n, dat deze ook geldig is voor n+1.Dit bewijs is niet correct. Je maakt gebruik van een ongelijkheid die moet worden aangetoond.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton
-
- Berichten: 4.246
Re: Inductie
Ja, want het bewijs is correct.Is mijn toelichting niet duidelijk?
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 24.578
Re: Inductie
Niet helemaal... Waar gebruik je de te bewijzen ongelijkheid? Dat n² > n+1 geldt, is de inductiehypothese.Is mijn toelichting niet duidelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Inductie
Als je ongelijkheid (n+1)²>(n+1)+1 gebruikt, gebruik je de ongelijkheid die moet worden aangetoond.
- Berichten: 7.224
Re: Inductie
Safe, ik neem aan dat je wel bekent met hoe bewijs door inductie in zijn werk gaat?
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton
- Berichten: 24.578
Re: Inductie
Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n² > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.Als je ongelijkheid (n+1)²>(n+1)+1 gebruikt, gebruik je de ongelijkheid die moet worden aangetoond.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Inductie
Helemaal eens.Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n² > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.
Te bewijzen: n²>n+1 voor k>=2
Bewijs:
1. het geval k=2 onderzoeken ...
2. Uitgaande van het te bewijzen (inductieveronderstelling) aantonen:
(n+1)²>(n+1)+1
Dus begin je met (n+1)²=n²+2n+1>n+1+2n+1>(n+1)+1 voor n>=2 qed (wtbw)
-
- Berichten: 4.246
Re: Inductie
Ik kan uit dit stuk niet opmaken of het bewijs van thermo1945 correct is.Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n² > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 24.578
Re: Inductie
Kwestie van smaak misschien, welke manier van noteren je verkiest - wat is voor jou onduidelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)