Reele getallen

Siron

Hallo, ik zit met een probleem, ik krijg deze 2 vragen niet opgelost.

1.|x² - 1| = 3|x²+x - 2|

Ik geraak hier echt niet uit, ik dacht misschien om |x²+x - 2| te ontbinden in factoren en dan zou ik verkrijgen:

|(x+1) (x-2)| en deze mag ik dan schrijven als: |x+1||x-2|

Dus zou mijn opgave worden: |x² - 1| = 3|x+1| |x-2|

Maar nu weet ik niet hoe verder te gaan, ik mag toch niet gewoon uitwerken?

2. Ik moet bewijzen:

Voor alle r element van de strikt positieve reele getallen: bestaat er een n dat een element is van de strikt natuurlijke getallen:

\( \frac{1}{n} < r\)

Ik dacht aan de stelling: elk reel getal wordt door ten minste één natuurlijk getal overtroffen.

Maar hier staat dan toch dat het omgekeerde van een natuurlijk getal door ten minste één reel getal overtroffen wordt?

Ik dacht misschien om te zeggen dat uit

\( \frac{1}{n} < r\)

volgt dat 1< n.r (deze eigenschap is waar want n moet verschillend zijn van 0 en r is strikt positief dus elke waarde voor n of r zou groter zijn dan 1.)

En dan dacht ik misschien om te schrijven:

\( \frac{1}{r} < n\)

Deze stelling klopt want elk reel getal wordt overtroffen door ten minste één natuurlijk getal.

Maar hiermee heb ik toch mijn stelling niet mee bewezen?

In physics I trust

Voor dat eerste: je linkerlid is ook ontbindbaar, en wat weet je ovet de absolute waarde van een product?

mathfreak

Maak bij 1 eens gebruik van x²-1 = (x+1)(x-1). Wat levert dat op?

Ga bij 2 uit van een gegeven r>0 en maak gebruik van de archimedische ordening van ℝ.

Siron

De absolute waarde van een product is gelijk aan het product van de absolute waarden van de factoren.

Dus kan ik zeggen dat (voor het linkerlid): |x-1|.|x+1|

Kan ik dan dit zeggen: |x-1|.|x+1| = 3. |x+1|.|x-2|

Dus:

\( \frac{ |x-1|.|x+1| }{|x+1|} \)

= 3.|x-2|

Dus: |x-1| = 3.|x-2|

Maar nu?

@Mathreak.

Je zegt dat ik moet uitgaan bij r>0 en de Archimedische ordening.

Bedoel je dan de Archimedische eigenschap: x < n.a (a strikt positief reel getal, n een natuurlijk getal, x reel getal)?

In physics I trust

En ik veronderstel dat je de vergelijking moet oplossen?

Op voorwaarde dat x niet gelijk is aan -1, kan je dus vereenvoudigen.

Tekenonderzoek: maak een tabelletje met de tekens. Gebruik de definitie van de absolute waarde.

TD

Siron schreef:De absolute waarde van een product is gelijk aan het product van de absolute waarden van de factoren.

Dus kan ik zeggen dat (voor het linkerlid): |x-1|.|x+1|

Kan ik dan dit zeggen: |x-1|.|x+1| = 3. |x+1|.|x-2|

Dus:
\( \frac{ |x-1|.|x+1| }{|x+1|} \)
= 3.|x-2|

Dus: |x-1| = 3.|x-2|

De ontbinding in het rood klopt niet, kijk je tekens nog eens na. Een andere factor valt dan weg.

Siron

In fysics I trust schreef:En ik veronderstel dat je de vergelijking moet oplossen?

Op voorwaarde dat x niet gelijk is aan -1, kan je dus vereenvoudigen.

Tekenonderzoek: maak een tabelletje met de tekens. Gebruik de definitie van de absolute waarde.

@TD

Ik zie niet in wat er fout is aan mijn ontbinding?

TD

Er zat een fout in je ontbinding:

1.|x² - 1| = 3|x²+x - 2|

|x-1|.|x+1| = 3.|x-1|.|x+2| en dan verder.

In physics I trust

Als a een wortel is, onbind je volgens (x-a), dus als a negatief is, wordt dat (x+a). Bij jou wordt dat dus met a=-2: (x+2) (tenzij ik me misrekend heb)

Siron

TD schreef:Er zat een fout in je ontbinding:

|x-1|.|x+1| = 3.|x-1|.|x+2| en dan verder.

Dan kan ik |x-1| schrappen en dan blijft erover: |x+1| = 3.|x+2|

Ik mag de absolute waarde tekens toch niet gewoon weglaten nu?

Ik bedoel als x nu negatief zou zijn dan zou de absolute waarde wel een positief getal opleveren, maar dat is toch niet hetzelfde als te schrijven: x+1?

TD

Siron schreef:Dan kan ik |x-1| schrappen en dan blijft erover: |x+1| = 3.|x+2|

Ik mag de absolute waarde tekens toch niet gewoon weglaten nu?

Je mag alleen schrappen voor x verschillend van 1, dus dat moet je 'apart' nagaan (maar dat levert duidelijk een oplossing). Absolute waarden mag je niet zomaar laten vallen, wat is de definitie van |x|? Je moet dus verschillende gevallen onderscheiden.

Siron

Je mag alleen schrappen voor x verschillend van 1, dus dat moet je 'apart' nagaan (maar dat levert duidelijk een oplossing). Absolute waarden mag je niet zomaar laten vallen, wat is de definitie van |x|? Je moet dus verschillende gevallen onderscheiden.

De definitie van de absolute waarde is:

Als x een positief reel getal zou zijn dan |x|=x

Als x een negatief reel getal zou zijn dan |x| = -x

Maar met aparte gevallen onderscheiden, moet ik dan eisen stellen?

TD

Voor |x+1| moet je de gevallen ... en ... onderscheiden, zo ook voor |x+2|. In het totaal heb je drie gevallen, welke?

Siron

Voor |x+1| moet je de gevallen ... en ... onderscheiden, zo ook voor |x+2|. In het totaal heb je drie gevallen, welke?

Ik weet het niet, ik kan toch niet zeggen: |x+1|>0 of |x+1|<0 want da absolute waarde van een getal is toch altijd positief.

TD

Dat zeg je hier toch ook niet?

Siron schreef:De definitie van de absolute waarde is:

Als x een positief reel getal zou zijn dan |x|=x

Als x een negatief reel getal zou zijn dan |x| = -x

Dus |x+1| = x+1 als ... en |x+1| = -(x+1) als ...

Wat komt er op de puntjes? Nu staat er niet x binnen de absolute waarde, maar x+1.

Meer algemeen moet je goed begrijpen wat |f(x)| wil zeggen, waaraan dit gelijk is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Reele getallen

Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen

Re: Reele getallen