Bewijs

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 26-03-'10, 20:16

Prot

Berichten: 478

Bewijs

Hallo, kan iemand me helpen met onderstaand bewijs i.v.m Asymptoten.

Gevraagd: Bewijs dat een kromme met vergelijking
\(f=(x)\)
geen asymptoten heeft als
\(f(x)\)
een veelterm is waarvan de graad groter is dan één.

Dit is hetgene wat ik ervan denk:

- De H.A. bestaat niet:

We hebben gezien dat de H.A. kan berekend worden door de:
\(\lim f(x)\)


x :eusa_whistle: ;)

Hierbij moet de graad groter zijn dan 1 want als dit niet is dan krijg je een constante en de limiet van die constante geeft een asymptoot.

Maar dan mag de graad toch ook = 1.

Want bijvoorbeeld:
\(\lim 6x\)
= ;) (en dit is geen asymptoot).

x ](*,) ](*,)

Is dit bewijs juist voor de H.A of niet?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 20:25

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs

Gevraagd: Bewijs dat een kromme met vergelijking
\(f=(x)\)
geen asymptoten heeft als
\(f(x)\)
een veelterm is waarvan de graad groter is dan één.
\(f=(x)\)
Wat voor notatie is dit?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 20:42

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Safe schreef:
\(f=(x)\)
Wat voor notatie is dit?


Excuseer het moet inderdaad zijn:
\(y=f(x)\)
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 21:38

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs

Je bent kennelijk op zoek naar de scheve asymptoot.

Hoe vind je de rc daarvan?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 21:40

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Safe schreef:Je bent kennelijk op zoek naar de scheve asymptoot.

Hoe vind je de rc daarvan?


Vergelijking v/e rechte:
\( y=ax+b\)
(a is de rico)
\(a=\frac{f(x)}{x}\)
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 21:44

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs

Dus als je veelterm van de eerste graad is, vind je ...?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 21:58

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Dus als je veelterm van de eerste graad is, vind je ...?
Dan vind ik een constante waarvoor de limiet bestaat. (bijvoorbeeld:)
\(\lim\frac{6x}{x}\)
= 6
\( x\)
:eusa_whistle: ](*,)

Ik denk dat ik het begrijp. Dus als de graad hoger dan 1 zou zijn zou ik blijven zitten met een x-waarde waardoor de limiet in elk geval als de graad van x>1 gelijk zijn aan ;) waardoor de Asymptoot niet bestaat.

Maar moet ik dit ook nog bewijzen voor de verticale en de Horizontale Asymptoot?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 22:16

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Als ik mijn bewijs zou vervolledigen zou het er zo uitzien:

- H.A: Vermits de graad x>1 zal de limiet van de functie y=f(x) altijd een limietwaarde oneindig opleveren voor x nadert naar oneindig, dus bestaat da Asymptoot niet want oneindig is geen reel getal.

- V.A: Er moet dus een waarde bestaan waarnaartoe x nadert zodat de limiet gelijk is aan oneindig. Dit kan nooit, behalve dat x :eusa_whistle: ](*,) , maar oneindig is geen reel getal dus bestaat de V.A. niet.
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 22:29

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs

- H.A: Vermits de graad x>1 zal de limiet van de functie y=f(x) altijd een limietwaarde oneindig opleveren voor x nadert naar oneindig, dus bestaat da Asymptoot niet want oneindig is geen reel getal.
Oneindig of min-oneindig.

VA: dan moet er een x-waarde bestaan waar de functie niet gedefiniëerd is.
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 22:31

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Safe schreef:Oneindig of min-oneindig.

VA: dan moet er een x-waarde bestaan waar de functie niet gedefiniëerd is.
Ok, dat begrijp ik.

Zou ik nog kunnen zeggen voor de S.A.:

Voor de Schuine Asymptoot zou ik eventueel ook nog kunnen zeggen dat deze niet bestaat met deze regel, we hebben gezien dat de S.A. enkel bestaat als: Graad(Teller)=Graad(Noemer)+1

Vermits ik de functie zou kunnen schrijven als:
\( y=\frac{f(x)}{1}\)
.

De graad van de Noemer= 0

De graad van de Teller moet >1 (dat was gegeven)

Dus is de Graad(Teller)
\(\neq\)
Graad(Noemer)+1

En dus bestaat de S.A. niet.

Zou ik dit zo kunnen bewijzen?
Omhoog

Bericht 26-03-'10, 23:10

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs

f(x)/x gaat naar oneindig of min-oneindig voor graad(f(x))>=2.

Dus accoord, maar houd het zo kort mogelijk.
Omhoog

Bericht 27-03-'10, 11:48

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Bewijs

Voor een kromme met vergelijking
\(y=f(x)\)
is
\(f(x)\)
een veeltermbreuk:
\( \frac{A(x)}{B(x)}=Q(x)\)
en een rest
\( R(x)\)
.De kromme heeft enkel en alleen indien een S.A. de als de graad van
\( Q(x)\)
=1

Bewijs dat in het geval dat
\(Q(x)\)
graad =1 de vergelijking van deze S.A. gegeven wordt door:
\(y=Q(x)\)
.

Ik dacht gewoon om eens de S.A. te berekenen, maar dat lukte me niet goed:

Algemene vergelijking v/e S.A.:
\(y=ax+b\)
\( a=\lim[\frac{f(x)}{x}]= \frac{A(x)}{B(x)}\cdot\frac{1}{x}\)
=
\(\frac{A(x)}{B(x)²}=\frac{1}{Q(x)}\)
\(x\)
:eusa_whistle: ;)

Dus is volgens mij de limietwaarde=0 voor
\(x\)
](*,) ](*,)
\(b=\lim[f(x)-ax]=\frac{A(x)}{B(x)}-0=Q(x)\)
Maar hier is de limietwaarde voor
\(x\)
;) ;) .

Dus mijn vergelijking zou zijn: y=0

Maar wat doe ik dan fout? Of is dit gewoon de juiste manier niet?
Omhoog

Bericht 27-03-'10, 18:18

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs

Siron schreef:
\( a=\lim[\frac{f(x)}{x}]= \frac{A(x)}{B(x)}\cdot\frac{1}{x}\)
=
\(\frac{A(x)}{B(x)²}=\frac{1}{Q(x)}\)
\(x\)
:eusa_whistle: ](*,)
Hoe kom je hieraan? Dit kan helemaal niet, x*B(x) is toch niet B(x)²? Tenzij B(x) toevallig x is...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 27-03-'10, 23:26

Prot

Berichten: 478

Re: Bewijs

Hoe kom je hieraan? Dit kan helemaal niet, x*B(x) is toch niet B(x)²? Tenzij B(x) toevallig x is...
O ja, inderdaad, dus dan wordt het:
\( a=\lim[\frac{f(x)}{x}]= \frac{A(x)}{B(x)}\cdot\frac{1}{x}\)
=
\(\frac{A(x)}{B(x).x}=\frac{x}{Q(x)}\)
\(x\)
:eusa_whistle: ](*,)

Ik weet alleen dat de vergelijking van de kromme een S.A. heeft als de graad 1 is. Dus wordt deze limiet dan 1?
Omhoog

Bericht 28-03-'10, 01:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs

Als je het met die formules wil doen, dit alvast voor de rico:
\(f\left( x \right) = \frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} = Q\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{{Q\left( x \right)}}{x} + \frac{{R\left( x \right)}}{{xB\left( x \right)}}\)
Of bekijk het misschien eens zo:
\(f\left( x \right) = \frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} = Q\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} \Rightarrow f\left( x \right) - Q\left( x \right) = \frac{{R\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\)
Met x naar oneindig gaat het rechterlid naar...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”