Integraal als som van twee integralen schrijven

Uiltje

Om de volgende integraal te bepalen wordt de integraal geschreven als een som van twee integralen:

\( \int \frac{x}{x^2+4x+5} dx = A \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + B \int \frac{1}{x^2+4x+5} dx\)

Mijn vraag: hoe kom je in de tellers op "2x+4" en "1"? Het is waarschijnlijk heel makkelijk, maar ik zie het gewoon even niet. Wie kan me helpen?

physicalattraction

Hoe kom je hieraan? Tenzij A en B zelf ook weer polynomen zijn in plaats van constanten, dan klopt het niet. Weet je zeker dat beide noemers onveranderd zijn gebleven?

Uiltje

Ik heb dit voorbeeld rechtstreeks uit mijn boek overgenomen (Blankespoor).

A en B zijn constanten en worden bepaald door de tellers links en rechts te vergelijken, waaruit volgt dat A = 1/2 en B = -2.

Safe

Het is dus helemaal goed.

Maar het gaat om: de int van afgeleide van de noemer is de teller. Daar kan je (in dit geval) naartoe werken, want de noemer is van de tweede graad en de teller (één minder) van de eerste graad.

Je kan het ook zo zien: vul de eerste breuk aan tot deze voorwaarde. Dus:

Teller: x=1/2(2x+4)-2. Ga twee dingen na:

1. klopt het wat er staat?

2. waarom 2x+4?

Nu volgt:

\(\frac{1/2(2x+4)}{x^2+4x+5}-2\frac{1}{x^2+4x+5}\)

En daar staan nu A=1/2 en B=-2.

Uiltje

Uitleg is niet meer nodig. Het kwartje is gevallen. Soms denk je veel te moeilijk na. :eusa_whistle:

Edit: bedankt Safe, ik had 'em door.

Safe

Prima, toch is deze redenering een andere dan je eerste.

Uiltje

Een andere redenering? :eusa_whistle:

Je doet toch hetzelfde. Maar het komt er inderdaad op neer dat je in dit geval de afgeleide neemt van de noemer, zodat je voor deze integraal een ln-functie als primitieve krijgt en met de "1" bij de tweede integraal een arctan-functie als primitieve. Met de constanten A en B zorg je dat som van de twee integralen weer de oorspronkelijke functie oplevert.

Safe

Natuurlijk doe ik hetzelfde.

Toch heb ik A en B niet nodig. Het is een kwestie van smaak welke methode je wilt volgen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integraal als som van twee integralen schrijven

Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven

Re: Integraal als som van twee integralen schrijven