Epsilon-delta definitie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Epsilon-delta definitie

Hallo, in mijn handboek staat een voorbeeld uitgewerkt waarbij ik een stap niet goed snap.

Gevraagd: Onderzoek de continuiteit voor volgende functie f(x)=
\(\sqrt{x}\)
in het punt a van haar domein.

Met
\(\epsilon\)
-
\(\delta\)
:
\(\forall \epsilon>0, \exists \delta>0: |x-a|<\delta \Longrightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\epsilon\)
Dus:
\(|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\)
=
\(\frac{|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \cdot |\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}\)
=
\(\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}\)
=
\(\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\)
<
\(\frac{\delta}{\sqrt{a}}\)
En dan stelt het handboek
\(\delta\leqslant\epsilon\cdot\sqrt{a}\)
De stap die ik niet begrijp is waarom het handboek stelt dat:
\(\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\)
<
\(\frac{\delta}{\sqrt{a}}\)
Waarom is
\(\sqrt{x}+\sqrt{a}<\sqrt{a}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Epsilon-delta definitie

Siron schreef:
\(\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\)
<
\(\frac{\delta}{\sqrt{a}}\)
Waarom is
\(\sqrt{x}+\sqrt{a}<\sqrt{a}\)
Hier maak je de fout, het is:
\(\sqrt{x}+\sqrt{a}>\sqrt{a}\)
Waarom het >-teken?

Waarom klopt dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Epsilon-delta definitie

Safe schreef:Hier maak je de fout, het is:
\(\sqrt{x}+\sqrt{a}>\sqrt{a}\)
Waarom het >-teken?

Waarom klopt dat?
Dat is logisch dat het klopt, omdat een positief getal(bv.x) vermeerdt met een willekeurig positief getal(h) altijd groter is dan dat positief getal(x)zelf: x+h>x

Maar wat betekent deze stap dan (daar zeggen zo toch kleiner?):
\(\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\)
<
\(\frac{\delta}{\sqrt{a}}\)
Want er moest bewezen worden dat
\(|x-a|<\delta\)
, maar ik begrijp de noemer niet goed?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Epsilon-delta definitie

Als je de noemer kleiner maakt wordt de breuk ... ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Epsilon-delta definitie

Of met een getallenvoorbeeld: 2 < 3, maar 1/2 ?? 1/3...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Epsilon-delta definitie

Of met een getallenvoorbeeld: 2 < 3, maar 1/2 ?? 1/3...?


Ja, dat begrijp ik, maar ik begrijp nog altijd mijn vraag niet goed.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Epsilon-delta definitie

Je hebt
\(\frac{{\left| {x - a} \right|}}{{\sqrt x + \sqrt a }}\)
en je weet dat |x-a|<δ, maar ook dat [wortel]a :eusa_whistle: [wortel]x+[wortel]a, dus:
\(\frac{{\left| {x - a} \right|}}{{\sqrt x + \sqrt a }} < \frac{\delta }{{\sqrt a }}\)
We maken immers de teller (strikt) groter en de noemer kleiner, dus de breuk zeker groter.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Epsilon-delta definitie

TD schreef:Je hebt
\(\frac{{\left| {x - a} \right|}}{{\sqrt x + \sqrt a }}\)
en je weet dat |x-a|<δ, maar ook dat [wortel]a :eusa_whistle: [wortel]x+[wortel]a, dus:
\(\frac{{\left| {x - a} \right|}}{{\sqrt x + \sqrt a }} < \frac{\delta }{{\sqrt a }}\)
We maken immers de teller (strikt) groter en de noemer kleiner, dus de breuk zeker groter.
Ah bedankt nu begrijp ik het, zou je ook kunnen afschatten of is dat een slecht idee.

Bv: |x-a|<1

Maar dan zou ik wel met -1+a<x zitten voor de noemer naar onder af te schatten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Epsilon-delta definitie

Het kan soms interessant zijn om δ te beperken door δ sowieso kleiner te kiezen dan een zekere waarde. Dit levert je een voorwaarde op welke x-waarden je beschouwt en dat laat een afschatting toe die het soms eenvoudiger maakt om een geschikte ε te vinden; hier is dat echter niet nodig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer