Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Tudum

Hallo!

In de afleiding voor het traagheidsmoment ten opzichte van een as staat het volgende:

: traagheidsmoment.jpg (14.63 KiB) 462 keer bekeken

Ik vroeg me af hoe er aan dat kadertje gekomen werd? Of is dat gewoon een definitie? (wat me raar zou lijken)

In de afleiding ervoor werd de traagheidstensor gedefinieerd. De formule die daaruit kwam was

\(L_i = I_{ij} \omega_j\)

met

\(I_{ij} = \int{\left(\vec r'^2.g_{ij} - x'_i x'_j \right) dm}\)

.

Ik had verwacht dat het

\(I(\vec n) = I_{ij}n_in_j\)

ergens iets met die formules te maken zou hebben, maar gezien ze achteraf blijkbaar pas gebruikt worden, zal dat wel niet het geval zijn? En ik heb geen idee van waar ze anders komen...

Zou iemand me dat kunnen uitleggen aub? (heb ik eigenlijk genoeg dingen van in de cursus vermeld? Want gezien ik eigenlijk niet echt een idee heb vanwaar het komt, zou dat wel eens kunnen van niet, lijkt me...)

ZVdP

Er staat wel 'gedefinieerd', maar je kan het wat aannemelijker maken.

I is de traagheidstensor ten opzichte van de coördinaatsassen.

Wil je het traagheidsmoment kennen ten opzichte van een willekeurige rechte moet je een transformatie uitvoeren:

\(I(n)= \left( \begin{array}{ccc} n_1 & n_2 & n_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} I_{11} & I_{12} & I_{13} & I_{21} & I_{22} & I_{23} & I_{31} & I_{32} & I_{33}\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n_1 & n_2 & n_3 \end{array} \right)=I_{ij}n_in_j\)

Ofwel heb je die laatste gelijkheid gezien bij matrixvermenigvuldiging, ofwel kan je ze makkelijk even narekenen.

Zo zie je bijvoorbeeld ook dat wanneer je als rechte een van de coordinaatsassen neemt dat de uitkomst het overeenkomstige diagonaalelement van de tensor is.

Tudum

ZVdP schreef:Er staat wel 'gedefinieerd', maar je kan het wat aannemelijker maken.

I is de traagheidstensor ten opzichte van de coördinaatsassen.

Wil je het traagheidsmoment kennen ten opzichte van een willekeurige rechte moet je een transformatie uitvoeren:

[...]

Hmm, sorry als dit een domme vraag is, maar waarom moet je die transformatie uitvoeren?

Dat doet met trouwens zo'n beetje denken aan een basisovergang, heeft het daarmee te maken?

ZVdP

Tja, ik zou niet meer weten hoe je dat formeel aantoont. Maar het is een algemene eigenschap van tensoren dat als je een tensor hebt, en je wil dan de waarde weten ten opzichte van een andere as dan de coordinaatsassen, dat je dan de tensor moet vermenigvuldigen (langs beide kanten) met de vector die de nieuwe as voorstelt.

Het heeft wel zeer veel weg van rotaties bij matrices. Daarbij is een matrix M na rotatie ook gelijk aan:

\(M'=A^{\tau}MA\)

Waarbij A de matrix is die de rotatie voorstelt.

Tudum

ZVdP schreef:Tja, ik zou niet meer weten hoe je dat formeel aantoont. Maar het is een algemene eigenschap van tensoren dat als je een tensor hebt, en je wil dan de waarde weten ten opzichte van een andere as dan de coordinaatsassen, dat je dan de tensor moet vermenigvuldigen (langs beide kanten) met de vector die de nieuwe as voorstelt.

Het heeft wel zeer veel weg van rotaties bij matrices. Daarbij is een matrix M na rotatie ook gelijk aan:

\(M'=A^{\tau}MA\)
Waarbij A de matrix is die de rotatie voorstelt.

Het doet me meer en meer denken aan basisovergang bij matrices. Maar 'k ben mijn cursus lineaire algebra op kot vergeten, dus 'k kan niet even opzoeken hoe dat zat... En dat lijkt ook weer op rotatie bij matrices, maar daar had 'k hiervoor nog nooit van gehoord

Maar bedankt :eusa_whistle: Ik heb het nog eens gevraagd, en we moeten blijkbaar niet snappen van waar dat komt, dus het probleem is opgelost nu ](*,)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Re: Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Re: Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Re: Traagheidsmoment ten opzichte van een as

Re: Traagheidsmoment ten opzichte van een as