Integraal van een e-functie

Rexxar

goedemiddag allen

ik heb de integraal f(x) = e^2x - 2e^x en de lijn y=3

nu wordt gevraagd om het oppervlak te berekenen tussen de 2 grenzen. Eentje is x= -2 (deze is gegeven)

Ik weet dat ik f(x) = 3 moet stellen, maar niet meer hoe ik deze moet oplossen. Kan iemand even een opstapje geven?

TD

Herschrijf even:

\({e^{2x}} - 2{e^x} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{e^x}} \right)^2} - 2{e^x} - 3 = 0\)

Eigenlijk staat er dus een kwadratische vergelijking, maar in de variabele e^x. Stel eventueel t = e^x om dit in te zien en los op naar t (abc-formule), dan nog even terugkeren naar x.

Rexxar

logisch, dat ik dat zelf niet gezien heb.

dus (e^x)² - 2e^x - 3 = 0 e^x = y

y² -2y-3 = 0

(y-3)(y+1)

y=3 v y=-1 y=-1 voldoet niet

e^x = 3

x = ln(3)

dus dan wordt het de integraal van -2 tot ln(3)

\( \int_{-2}^{ln(3)} 3 - (e^{2x} - 2e^x) dx \)

\( 3x - (\frac1{2} e^{2x} - 2e^x) \vert ^{ln(3)}_{-2} \)

ik mag dit met mijn rekenmachine doen, dus zou er 10,5 uit moeten komen (op 1 decimaal nauwkeurig).

nu moet ik de omtrek nog gaan berekenen van het vlak wat ik net berekend heb.

ik weet ook niet meer met welke formule dat moet. Ik denk

\( \sqrt{1+f'(x)^2} \)

?

TD

Oppervlakte klopt.

De formule die je geeft, is nuttig voor een stuk van de omtrek (namelijk het deel van de grafiek van f).

Rexxar

dus dan moet ik

\(\sqrt{1+f'(x)^2} \)

dan nog 2 + ln(3) (van x=-2 tot de rechtergrens)

en dan nog 3 - f(-2) (om de lengte van de verticale lijn x= -2 te bepalen) en dan heb ik de complete omtrek?

\( \int_{-2}^{ln(3)} \sqrt{1+2e^{2x} - 2e^x dx \)

\( \sqrt{1+2e^{2x}-2e^x}\ \vert^{ln3}_{-2} \)

+ 2+ln(3) + (3-f(-2))

(1 + 2e^2ln(3) - 6) - (1 + 2e^-4+2e^-2) + 2+ln3 + (3-(e^-4-2e^-2))

en dan de haakjes wegwerken geeft

2e^2ln(3) - 3e^-4 + 4e^-2 + ln(3) - 1 ≈ 16,8

Maar er staat in de opgaven niet dat ik in een decimaal nauwkeurig moet berekenen of exact, dus moet ik dan alleen die hele riedel gebruiken of ook de 16,8 er achter plaatsen? (mits ik alles goed heb)

TD

Hoe kom je bij de berekening van die integraal? Dat is niet gewoon die functie zelf tussen deze grenzen...

Rexxar

ok, hoe moet ik er dan aan beginnen? want dat wil ik dan wel even weten :eusa_whistle:

TD

Het lijkt me niet de bedoeling dat je die integraal 'met de hand' moet doen (of wel?), waarschijnlijk mag je dat dan ook met je rekenmachine doen? Wat je nu doet, kan in elk geval niet: je hebt niet geïntegreerd (zoals je wél deed bij de vorige integraal voor de oppervlakte)...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integraal van een e-functie

Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie

Re: Integraal van een e-functie