Ik was even mijn integralen aan het heropfrissen en stuit net op het volgende probleempje.
In ons formularium staat:
\( I= \int x^m(a + bx^n)^p dx \)
met \(p = \frac{k}{l} \)
Indien \( \frac{m+1}{n} \)
: geheel --> stel \( a+bx^n = t^l \)
[/i]Nu heb ik de volgende integraal:
\( \int x^5(1+x^3)^1^/^2 dx\)
Duidelijk van dit type. m=5 ; a=1 ; b=1 ; p=1/2 Hieruit besluit ik dat l=2 en k=1
Dus als ik doe zoals daar staat krijg ik:
stel 1 + x³ = t²
of
\( x=\sqrt[3]{t^2-1} \)
en \( dx=\frac{2tdt}{3(t^2-1)^2^/^3} \)
\(I = \int ((t^2-1)^5^/^3.t^1^/^2.\frac{2}{3}t(t^2-1)^-^2^/^3) dt\)
\(I = \frac{2}{3} \int(t^2-1)t^3^/^2 dt \)
\(I = \frac{2}{3}\int(t^7^/^2-t^3^/^2)dt\)
\(I = \frac{2}{3}.\frac{2}{9}t^9^/^2-\frac{2}{3}.\frac{2}{5}t^5^/^2\)
\(I = \frac{4}{27}t^9^/^2-\frac{4}{15}t^5^/^2\)
De correcte oplossing blijkt immers precies dezelfde werkwijze te volgen maar gebruikt als substitutie '1 + x³ = t' i.p.v. 1 + x³ = t² Kan iemand mij uitleggen waarom? De theorie zegt het toch anders?Finaal komt de methode via 1 + x³ = t het volgende uit:
\( \frac{2}{15}t^5^/^2-\frac{2}{9}t^3^/^2\)
Alvast bedankt
