Inductie bewijs van een ongelijkheid

joy_duyn

Hey. waarschijnlijk is dit een hele domme vraag. Maar ik kom er maar niet uit =(. Ik heb de volgende stelling die ik wil bewijzen met behulp van inductie:

\( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 2 - \frac{1}{n}\)

Nu moet ik het eerst initialiseren voor

\( n \geq 2 \)

. Dat heb ik dus gedaan en dat klopt aardig. Maar nu is de vraag hoe bewijs ik dit met behulp van inductie, ik heb het volgende:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}\)

\(... < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2+2n+1}\)

Nu is mijn vraag, hoe kom ik bij:

\( ... < 2 - \frac{1}{n+1}\)

zonder een cirkel beredenatie? Want ik kan bijv. aan beide kanten iets wegstreepen, maar dan kom ik weer bij het begin en ik denk niet dat dat de bedoeling is =(.

Is mijn "resultaat" / verwachting fout? Of zie ik iets over het hoofd?

Dank u wel voor alles!

Safe

Probeer eens te bewijzen:

\(\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Heidegger

joy_duyn schreef:Hey. waarschijnlijk is dit een hele domme vraag. Maar ik kom er maar niet uit =(. Ik heb de volgende stelling die ik wil bewijzen met behulp van inductie:

\( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 2 - \frac{1}{n}\)
Nu moet ik het eerst initialiseren voor
\( n \geq 2 \)
. Dat heb ik dus gedaan en dat klopt aardig. Maar nu is de vraag hoe bewijs ik dit met behulp van inductie, ik heb het volgende:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}\)

\(... < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2+2n+1}\)
Nu is mijn vraag, hoe kom ik bij:
\( ... < 2 - \frac{1}{n+1}\)
zonder een cirkel beredenatie? Want ik kan bijv. aan beide kanten iets wegstreepen, maar dan kom ik weer bij het begin en ik denk niet dat dat de bedoeling is =(.

Is mijn "resultaat" / verwachting fout? Of zie ik iets over het hoofd?

Dank u wel voor alles!

Bij inductie maak je er gebruik dat je het al weet voor n, om zodoende te bewijzen dat het voor n+1 geldt.

Dus schrijf op tb: 1 + 1/4 + ... + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 < 2 - 1/(n+1)

Maar je weet al

1 + 1/4 + ... + 1/n^2 < 2 - 1/n

Dus trek deze van de te bewijzen stelling af, dan krijg je:

TB: 1/(n+1)^2 <1/n - 1(n+1)

En dat moet wel lukken.

joy_duyn

Sorry maar ik ben een heel klein beetje dom, maar hoe kom je hier aan? 1/n - 1(n+1)? ](*,) , ik volg het niet helemaal :S

Heidegger

Sorry maar ik ben een heel klein beetje dom, maar hoe kom je hier aan? 1/n - 1(n+1)? ](*,) , ik volg het niet helemaal :S

Schrijf eens de regel op die je moet bewijzen.

En daaronder die je al weet (geval n).

Trek ze dan van elkaar af.

Safe

Sorry maar ik ben een heel klein beetje dom, maar hoe kom je hier aan? 1/n - 1(n+1)? ](*,) , ik volg het niet helemaal :S

Aan wie vraag je dit?

joy_duyn

Dus u zegt:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}\)

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 2 - \frac{1}{n}\)

van elkaar aftrekken krijg ik:

\(\frac{1}{(n+1)^2} < 2 - 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}\)

\(\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{(n+1)^2}\)

(dit kan nooit kloppen :S)

dit krijg ik :S

@ Safe, ik vroeg het aan jullie beide eigenlijk, aangezien jullie beide "tips" gelijk zijn.

Safe

Aan wie vraag je dit?

Is deze vraag een vraag ...

Heidegger

Wat je moet bewijzen is niet:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}\)

maar:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{(n+1)}\)

En je veronderstelt dat je al weet dat:

\( 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 2 - \frac{1}{(n)}\)

joy_duyn

Ah geweldig dat had ik nodig, het is mij gelukt als volgt:

\( \frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \)

\( \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}\)

\( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}\)

dat laatste is bij def. zo toch? =)

Dank jullie wel voor jullie geniale tip!

TD

Ja, want n+1 > n.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inductie bewijs van een ongelijkheid

Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid

Re: Inductie bewijs van een ongelijkheid