Het kwadraat van i

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 703

Het kwadraat van i

Oké, ik had net even een klein hersenspinseltje en ik vraag me af waar het fout gaat:
\(i^2=-1\)
(1)

Dus:
\(i=\sqrt{-1}\)
(2)

En verder weet je:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\)
(3)

Dus:
\(i^2=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot-1}=\sqrt{1}=1\)
HUH? Waar gaat het hier mis? Klopt (2) gewoon niet? Of geldt 3 niet voor complexe getallen?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Het kwadraat van i

Dat is inderdaad een sterke! Ik vermoed, dat dit iets met definities te maken heeft.

Ik kom er niet uit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het kwadraat van i

HUH? Waar gaat het hier mis? Klopt (2) gewoon niet? Of geldt 3 niet voor complexe getallen?
Inderdaad: 2 is al gevaarlijk en 3 geldt in het algemeen niet meer. Zie ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 703

Re: Het kwadraat van i

Oké, maar hoe zit 't dan wel?

Edit: Doh, ik had in de gauwigheid over die link heengelezen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 7.933

Re: Het kwadraat van i

Waarom is (2) gevaarlijk? Ik heb ooit geleerd dat de imaginaire getallen bedacht zijn om de wortels van negatieve getallen te kunnen weergeven. Dus voor mij is (2) gewoon de definitie van i.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het kwadraat van i

Oké, maar hoe zit 't dan wel?
Misschien net te laat toegevoegd, zie o.a. de link in m'n vorig bericht.
Dus voor mij is (2) gewoon de definitie van i.
Dat is een slordige definitie, aangezien je op het moment dat je complexe getallen gaat invoeren nog geen "vierkantswortel" hebt gedefinieerd op die nieuwe getallen. Je hebt wel de "gewone, oude vierkantswortel", maar die werkt alleen op niet-negatieve reële getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 146

Re: Het kwadraat van i

bedoel je iets zoals het verschil tussen een ln() en een Ln()?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het kwadraat van i

Bijvoorbeeld ja, in de notatie die jij hier gebruikt noteert men de logaritme expliciet anders om aan te geven of het over de 'complexe logaritme' dan wel over de 'gewone, reële logaritme' gaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Het kwadraat van i

Emveedee schreef:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\)
(3)

Dus:
\(\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot-1}\)
(4)

HUH? Waar gaat het hier mis? Klopt (2) gewoon niet? Of geldt 3 niet voor complexe getallen?
(3) is alleen bewezen voor niet-negatieve getallen, vandaar dat het bij (4) misgaat.

Moeilijker is het niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Het kwadraat van i

Aanvulling op Safe:

de rekenregel √a x √b = √ab is per definitie uitsluitend geldig als a en b beide minstens nul zijn.

En daar zit 'm nu net nou de kneep!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Het kwadraat van i

thermo1945 schreef:Aanvulling op Safe:

de rekenregel √a x √b = √ab is per definitie uitsluitend geldig als a en b beide minstens nul zijn.

En daar zit 'm nu net nou de kneep!
Het zou aanbeveling verdienen om precies aan te geven wat je hier met per definitie bedoeld.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Het kwadraat van i

Het zou aanbeveling verdienen om precies aan te geven wat je hier met per definitie bedoelt.
Dat betekent: volgens algemeen geaccepteerde afspraak (hier binnen het vakgebied van de wiskunde).

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Het kwadraat van i

Dit bedoelde ik natuurlijk niet, dan zou ik gevraagd hebben: wat is een definitie.

En ik zou tevreden zijn geweest met: dat is een afspraak. Zo heet jij thermo1945 volgens je (eigen) afspraak.

Elk (goed) studieboek zit vol definities.

Je schrijft een rekenregel op, is dat wat je bedoelt met: per definitie?

Maar ja nu zitten we in een discussie die ik niet bedoeld heb.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Het kwadraat van i

Terug naar het bedoelde spoor
Het zou aanbeveling verdienen om precies aan te geven wat je hier met per definitie bedoeld.
a x √b = √ab is dan en slechts dan waar als a en b beide niet negatief zijn.

Is dat wat je bedoelde?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Het kwadraat van i

a x √b = √ab is dan en slechts dan waar als a en b beide niet negatief zijn.


Als slechts een van beide negatief is klopt het ook nog.

(Voor de duidelijkheid: met als definitie van √-a=ia , met a>0)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Reageer