Ik wil graag de snelheid van een EM-golf in een medium afleiden, door de Maxwell wetten in dat medium te herschrijven tot de vorm van een klassieke golfvergelijking.
Dit is een (oude) tentamenopgave van electrodynamica en op een of andere manier zitten niet alle stappen mij lekker, vandaar dat ik het even uitgebreid hier uit wil werken.
Gegeven: lineair, homogeen, niet-magnetisch dielektricum met dielektrische constante
\(\epsilon\)
en elektrisch veld 'functie'.Mijn interpretatie van de gegevens:
lineair betekent dat ik
\(\vec{D}=\epsilon\vec{E}\)
en \(\vec{H}=\frac{1}{\mu}\vec{B}\)
kan gebruikenhomogeen betekent geen plaatsafhankelijkheid
niet-magnetisch betekent
\(\mu=\mu_0\)
de functie van het elektrisch veld is voor deze vraag niet nodig.Dan begin ik met de wet van Ampere en veronderstel ik dat de vrije stroomdichtheid 0 is.
\(\nabla\times\vec{H}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\)
Als ik nu aan beide kanten de tijdsafgeleide pak en dan de relatie tussen E en D en H en B invul kom ik op het volgende:\(-\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\mu\epsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\)
\(\nabla\times\nabla\times\vec{E}=\nabla(\nabla\dot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}\)
Hier begint het mij te knagen... want ik zit nu met de divergentie van \(\vec{E}\)
. De divergentie van \(\vec{D}\)
is 0 als ik veronderstel dat er geen vrije lading is. Dat is redelijk, maar de divergentie van \(\vec{E}\)
nul stellen lijkt me wat voorbarig, of niet? (er kan toch nog steeds gebonden lading zijn?)Als ik in de laatste vergelijking
\(\vec{D}\)
weer terug vervang door \(\epsilon\vec{E}\)
dan lijkt die hele term toch weg te kunnen...Waar gaat het mis?
