Wetenschapsforum

Graag feedback op de volgende opgaven en mijn aanpak. Het is geen hele lastige wiskunde, maar mijn bewijstechnieken laten nogal te wensen over....

OPGAVE

Zij (P,B) een 2 − (v, k, λ) design met b = |B| blokken. We weten

dat dan ieder punt p ∈ P in r = bk/v blokken ligt. Definieer een lijn als de

doorsnede van alle blokken B ∈ B die een paar p, q van punten in P bevatten.

Bewijs de volgende beweringen:

(i) Ieder paar punten p, q ∈ P ligt op een unieke lijn.

(ii) Als een lijn L een blok B ∈ B in twee punten snijdt, dan is L ⊂ B.

(i) Uit de definitie van een t-design volgt hier dat ieder tweetal (t=2) punten in precies λ blokken is omvat. Dus voor een paar (p,q) zijn er λ blokken die het paar omvatten. Zeg B₁, B₂, ... , B_λ.

(p,q) ligt op de lijn L_pq = B₁B₂...B_λ.

De uniciteit van de lijn: Stel (p,q) ligt ook op een andere lijn zeg L₂ dan is er volgens de definitie een paar (s,t) met L₂ is de doorsnede van alle blokken die (s,t) omvatten, zeg L₂=A₁, A₂, ... , A_λ. Omdat zowel (s,t) als (p,q) op deze lijn liggen geldt voor al deze blokken A_i dat {p,q} en {s,t} erin liggen. Er zijn &#955 blokken A₁, A₂, .... met {p,q} erin en &#955 blokken B₁, B₂,... met {p,q} erin. Maar er zijn er volgens de definitie totaal ook maar &#955 dus de A-blokken zijn hetzelfde als de B-blokken dus lijn L_pq=L₂.

(ii)Zeg L bevat |L|=n punten dus L is de doorsnede van blokken die allen n punten overeenkomen, zeg {a₁, a₂,... ,a_n} en B bevat |B|=k punten. Dus als L B snijdt in twee punten zijn dit noodzakelijk a_i en a_k met i ongelijk j en i,j ∈ {1,2,....n}.

Maar vervolgens zie ik eigenlijk dat het niet hoeft te gelden dat L ⊂ B en dat was niet de bedoeling....

Theorie

t- (v, k, λ) design betekent:

Puntverzameling van grootte v

Blokgrootte= k

Voor iedere verzameling T van t punten geldt dat ze in precies λ blokken liggen.