Simpele integraal

Olezgus

Beste lezer,

Ik heb moeite met de volume-integraal in cylindercoordinaten. Als ik voor s, theta en z bepaalde grenzen heb snap ik het, maar als er eentje 'niet echt' mee doet dan weet ik niet meer hoe ik het op moet lossen.

Een voorbeeld (dat heel simpel zou moeten zijn..):

Ik heb een 'lijnladingsdichtheid

\(\lambda\)

' op de z-as en ik wil de totale lading in de ruimte tellen. De oplossing is natuurlijk oneindig als ik z niet begrens dus laten we zeggen dat z van -a tot a loopt. De oplossing is dan

\(Q_{tot}=2\lambda a\)

Maar nu door de 'algemene' integraal netjes op te lossen:

\(\int\int\int\rho(\vec{r}) s ds d\theta dz\)

Met daarin:

\(\rho(\vec{r})=\lambda \delta({s})\)

Dan kom ik op;

\(\lambda \int\int s d\theta dz\)

Maar dat slaat nergens op want s staat er nog in, bovendien komt hier ook nog een vermenigvuldiging met 2

\(\pi\)

uit die er ook niet hoort te zijn.

Wat doe ik fout / Hoe moet het wel?

Xenion

Waarom integreer je niet gewoon de gegeven dichtheid lambda?

Je hebt lamba = dQ/dz, integreer dat dan gewoon over een stuk op de z-as. Op alle andere punten in de ruimte is de dichtheid toch 0, dus moet je daar niet integreren.

Olezgus

Voor dit voorbeeld is het inderdaad simpel om in te zien, maar als ik gewoon 'dom' begin aan het uitwerken van de integraal dan moet dat er toch uit volgen?

De

\(\delta(s)\)

geeft netjes aan dat er alleen een bijdrage is op s=0. Maar verder kom ik niet... de integraal over de hoek en de extra s blijven mij in de weg zitten...

Het lijkt misschien of ik zit te zeuren om niets, maar er zijn ook ladingsverdelingen waarbij ik niet meteen zie wat er nou wel of niet wegvalt uit de integraal, met name of de 'extra' s van

\(s ds d\theta dz\)

verdwijnt of moet blijven staan weet ik niet altijd. Daarom wil ik hier een wat robuuster begrip voor.

Xenion

Als je integreert over s, dan kan er geen s achterblijven. Die moet dan geïntegreerd zijn en geëvalueerd in de integratie-grenzen.

Algemeen:

Als je een volumeladingsdichtheid hebt dQ/dV dan kan je een volume-integraal uitrekenen.

Jij hebt hier echter een dQ/dL, dus moet je met een lijnintegraal werken.

Zelfde redenering als je dQ/dS zou hebben, dan kan je een dubbele integraal opstellen.

Olezgus

Als je integreert over s, dan kan er geen s achterblijven. Die moet dan geïntegreerd zijn en geëvalueerd in de integratie-grenzen.

Akkoord.

Algemeen:

Als je een volumeladingsdichtheid hebt dQ/dV dan kan je een volume-integraal uitrekenen.

Jij hebt hier echter een dQ/dL, dus moet je met een lijnintegraal werken.

Zelfde redenering als je dQ/dS zou hebben, dan kan je een dubbele integraal opstellen.

Ik zie wel dat dat zo klopt ja, maar ik had eigenlijk gehoopt dat als je een richting meer mee zou nemen dat die automatisch weg zou vallen... maar dat is dus niet zo?

Buiten dat:

Mijn eerste 'uitwerking' was dus kei fout, maar als ik nog eens kijk:

\(\int\int\int \lambda \delta({s}) s ds d\theta dz\)

Hier geeft de

\(\delta({s})\)

weer aan dat alleen s=0 mee doet, dus dan zou er ook 0 uit de integraal komen?

Xenion

\(Q = \int_0^a \int_0^b \int_0^{2 \pi}\rho(z,r,\phi)dz dr d\phi\)

Dit is een uitdrukking die de totale lading berekent in een cilinder. De dichtheid moet een functie zijn van alle parameters waarover je integreert. Ze moet dus in de hele cilinder exact gekend zijn, en gegeven door die functie rho.

Wat jij nu hebt is een dichtheid gedefinieerd op de z-as. De straal en hoek zijn hier geen parameters van. Als je het onder die vorm wil schrijven moet je je dichtheid zo proberen te definiëren dat je die andere parameters wel kan meegeven.

Je zal dus zelf een soort functie moeten definiëren die de straal en de hoek wel als parameters kan aanvaarden, maar hetzelfde resultaat geeft: dus een dichtheid op de z-as en overal anders 0.

Ik begrijp dat je het handig zou vinden om een algemene formule te hebben die je in elke situatie kan laten werken, maar dat kan soms gewoon niet.

\(\int\int\int \lambda \delta({s}) s ds d\theta dz\)

Hierin kloppen ook gewoon de dimensies helemaal niet.

Je moet iets in Coulomb uitkomen, maar jij zou iets krijgen met dimensie Coulomb*meter³ ofzo.

ZVdP

Ik denk dat als je een grootheid die enkel op een lijn verschilt van 0 toch wil uitrekenen met een volume integraal, dat je altijd voorzichtig moet zijn, en best limieten gebruikt, ipv diracs lijkt me.

Zeker al, Xenion zei het al, je dimensies kloppen in dit geval niet.

Stel dat je een lading verspreid hebt over een cylinder, met volumeladingsdichtheid sigma (Q/m³)

\(Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{L}\int_{0}^{R}\sigma r drd\theta dz\)

\(=2\pi L\sigma\int_{0}^{r}rdr=\pi L\sigma R^2\)

Om nu over te gaan tot een lijn, nemen we de limiet van R naar 0:

\(\lim_{R \to 0}\pi L\sigma R^2=\lim_{R \to 0}L\sigma A=L\lambda\)

Want de overeenkomstige lijnladingsdichtheid is het oppervlak maal de volumeladingsdichtheid.

Olezgus

Wat jij nu hebt is een dichtheid gedefinieerd op de z-as. De straal en hoek zijn hier geen parameters van. Als je het onder die vorm wil schrijven moet je je dichtheid zo proberen te definiëren dat je die andere parameters wel kan meegeven.

Qua straal zit ik toch wel goed met de volgende uitdrukking:

\(\rho(\vec{r})=\lambda \delta({s})\)

die filtert alle bijdragen eruit behalve s=0.. ?

Alleen over de hoek is inderdaad niets gezegd, maar ja... dan kom ik alsnog op de meer filosofische vraag over de theta integraal: doorloop je hier een cirkel met straal 0 of doorloop je uberhaupt geen cirkel...

Maar je maakt wel een goed punt in je laatste post. Ik denk dat ik hier wel mee kan leven

. Als je over bovenstaand nog iets leuks/zinnigs te zeggen hebt is dat natuurlijk nog wel welkom!

EDIT

@ ZVdP

Dat is ook een mooie methode! weer een extra 'tool' voor in mijn toolbox

Xenion

Alleen over de hoek is inderdaad niets gezegd, maar ja... dan kom ik alsnog op de meer filosofische vraag over de theta integraal: doorloop je hier een cirkel met straal 0 of doorloop je uberhaupt geen cirkel...

Als je per se een volume-integraal wil forceren die hetzelfde resultaat geeft, dan kan je de dichtheid nog delen door 2pi.

Om het intuïtief in te zien: "Je 'loper' staat voor alle z immers even still in r=0 en draait daar een rondje."

Olezgus

Als je per se een volume-integraal wil forceren die hetzelfde resultaat geeft, dan kan je de dichtheid nog delen door 2pi.

Dat begrijp ik niet, de integraal wordt dan:

\(\int\int\int \frac{\lambda}{2\pi} \delta({s}) s ds d\theta dz\)

dan klopt die toch nog steeds niet?

Helemaal afgezien van de hoek:

\(\delta(s)\)

is alleen 1 als s=0, maar dan is de s juist weer 0 (triviaal) dus dan blijft er niets over. Dit probleem blijft zolang delta s blijft...

Ik denk dus niet dat er een goede volume-integraal te schrijven is hiervoor? (de oplossing moet dan komen van de limietmethode of inzicht..)

Xenion

Hmja die had ik even over het hoofd gezien, ik zie zelf ook geen mogelijkheid om het dan correct te schrijven als volume-integraal.

Olezgus

Oke, dan laten we het hier maar bij. Als ik specifieke integralen tegenkom die ik nou nog niet op kan lossen stel ik wel een nieuwe vraag, maar ik denk dat het nu wel gaat lukken.

Bedankt voor de snelle reacties!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Simpele integraal

Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal

Re: Simpele integraal