\(\vec{v}(t)=-R\omega \sin(\omega t) \vec{e_r}+R \omega \cos(\omega t) \vec{e_\phi}\)
Gevraagd:Bereken de tangentiële eenheidsvector
\(\hat{e}_{tan}\)
en bereken hieruit de eenheidsvector in normaalrichting \(\hat{e}_n\)
.Uitwerking:
\(\hat{e_{tan}}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\sin(\omega t)\vec{e_r}+\cos(\omega t) \vec{e_\phi}\)
Nu moet ik de normaal vector berekenen. Ik weet dat \(\hat{e}_{tan}\cdot \hat{e}_n=0\)
, en dat \(\hat{e}_n=(a,b)\)
lengte 1 heeft, dus:\(-\sin(\omega t) \cdot a + \cos(\omega t) \cdot b =0\)
, dus:\(a=\frac{b}{\tan(\omega t)}\)
En\(a^2+b^2=1\)
, dus:\(\frac{b^2}{\tan^2(\omega t)}+b^2=1\)
, en dat geeft:\(b=\sin(\omega t)\)
en dus \(a=\cos(\omega t)\)
Het lukt wel zo, maar het is een erg omslachtige methode (ik heb hier een hoop tussenstappen overgeslagen). Ik heb 't vermoeden dat dit veel makkelijker kan, maar hoe? Of moet het echt steeds door 2 vgl'n op te stellen en die op te lossen?
