Oefening op druk / fluïdostatica, opheffen van sfeer

JeanJean

Hallo,

Men vraagt het volgende:

Tot welke hoogte h kan je de buis vullen met water voor de halfse sfeer wordt opgetild? Verwaarloos het gewicht van de gevulde buis.

: Fysica_figuur.png (5.91 KiB) 493 keer bekeken

Zelf heb ik eerst het gewicht van de sfeer berekend:

50.000 kg x 9,81 N/kg = 490500 N.

Dus dit betekent dat het water onder de sfeer een kracht groter dan 490500 N moet uitoefenen

op de wanden van de sfeer.

Maar wat nu? Zelf dacht ik om de oppervlakte van de halve sfeer eerst te berekenen. Als ik dan het gewicht van de sfeer deel door die oppervlakte, kom ik de druk uit die het water moet uitoefenen op de wanden, dacht ik. Helaas ben ik niet zeker of dit klopt?

En dan gewoon met rho . g . (h + 3) = druk

Daar zou ik dan de hoogte uit kunnen halen.

Helaas weet ik echt niet of dit de juiste redenering is. Dus: kan iemand zijn mening hier over geven?

Dank.

Xenion

De druk neemt lineair toe volgens de hoogte. Je hebt dus een verdeelde druk die werkt over de hele koepel. Volgens mij moet je dan de resultante van die verdeelde druk beschouwen en vermenigvuldigen met het oppervlak waarop die werkt (de halve sfeer). Die kracht moet dan groter worden dan het gewicht om de sfeer op de tillen.

Jan van de Velde

Als de halve sfeer een verticale cilinder was zou een kleine 1,80 mwk in die pijp voldoende zijn, en dat ongeacht de hoogte van de schijf. Nu is de verticale component van de waterdruk echter afhankelijk van de hoogte in de sfeer (die zelf tot 3 m gaat , zodat het water IN de sfeer zelf ook al opwaartse druk gaat uitoefenen)

Volgens mij is de wiskunde die hierbij hoort NIET leuk.

Xenion

Als mijn idee goed is, is de wiskunde helemaal niet zo moeilijk. Ik heb even aangeduid op de tekening hoe het zit. De druk werkt in alle richtingen even sterk en is enkel afhankelijk van de diepte, dus het kan geschreven worden als een eenvoudige lijnintegraal.

Op de tekening heb ik de drukken die voor het optillen kunnen zorgen met een pijl aangeduid.

De totale druk in de sfeer kan dan geschreven worden als:

\(\rho g \int_h^{h+3}ydy\)

Jan van de Velde

Als mijn idee goed is, is de wiskunde helemaal niet zo moeilijk.

Vergeet je hierbij echter niet dat op verschillende hoogtes de verticale component steeds anders is, alsmede en/of ook daardoor de oppervlakte waarop die druk werkt, en dus de verticale kracht die dat oplevert? Voorzover ik niet duidelijk ben, moet die halve sfeer nu niet ook nog "in ringetjes gesneden" worden?

Xenion

Die bedenking heb ik ook. Ik weet niet op welk niveau deze oefening opgelost dient te worden.

Je moet misschien inderdaad integreren over het oppervlak waarop de druk werkt. Je kan de straal in functie van de hoogte schrijven en dan kan je integreren over een hoek en de hoogte. Op die manier krijg je dan ook ineens een totale kracht die je kan vergelijken met het gewicht.

Jan van de Velde

Ik weet niet op welk niveau deze oefening opgelost dient te worden.

Aangezien de hoogte van de sfeer niet verwaarloosd kan worden t.o.v. de hoogte van de waterkolom kan dat niet anders dan via een integraal over die halve sfeer lijkt me. Geen wiskunde voor mij in ieder geval.

....

JeanJean

Volgens mij is het hier zekerlijk niet de bedoeling om met integralen te werken. Ik denk zelf dat we 'foutjes' mogen maken om het ons te vergemakkelijken. Dus: hoe los je dit, zonder integralen, zo "correct" mogelijk op?

edit: Zie nu pas tekening van Xenion. Lijnintegralen hebben we gezien ja, maar bij die docent hebben we zo'n dingen nog nooit gebruikt. Dus ik denk dat het anders en makkelijker kan.

Xenion

edit: Zie nu pas tekening van Xenion. Lijnintegralen hebben we gezien ja, maar bij die docent hebben we zo'n dingen nog nooit gebruikt. Dus ik denk dat het anders en makkelijker kan.

Uiteindelijk is het gewoon een verdeelde belasting, dat heb je waarschijnlijk wel al gezien? De totale belasting is dan gewoon de oppervlakte van die driehoek (dat is ook wat die integraal beschrijft). Mogelijk mag je dan gewoon de totale druk (p = h*p_max/2) berekenen en vermenigvuldigen met die oppervlakte van de sfeer.

Jan van de Velde

Dus ik denk dat het anders en makkelijker kan.

Het zou best kunnen dat, eenmaal de integralen correct verwerkt, er een verrassend makkelijke formule uitrolt. Maar ik zie hem niet met het blote oog. Je zou hem kunnen benaderen door je sfeer in segmenten van te knippen, en van elk segment de oppervlakte van horizontale bovenkant met bijbehorende druk te bepalen, en die ten slotte tot een totale verticale kracht op te tellen. (een integraal levert weinig meer dan een dergelijke optelling, maar dan van een oneindig groot aantal oneindig kleine trapjes)

: druksfeer.png (6.33 KiB) 492 keer bekeken

Xenion

En de druk die op elk trapje aangrijpt is gewoon de druk op die hoogte?

kotje

JeanJean schreef:Hallo,

Men vraagt het volgende:

Tot welke hoogte h kan je de buis vullen met water voor de halfse sfeer wordt opgetild? Verwaarloos het gewicht van de gevulde buis.

[attachment=5757:Fysica_figuur.png]

Zelf heb ik eerst het gewicht van de sfeer berekend:

50.000 kg x 9,81 N/kg = 490500 N.

Dus dit betekent dat het water onder de sfeer een kracht groter dan 490500 N moet uitoefenen

op de wanden van de sfeer.

Maar wat nu? Zelf dacht ik om de oppervlakte van de halve sfeer eerst te berekenen. Als ik dan het gewicht van de sfeer deel door die oppervlakte, kom ik de druk uit die het water moet uitoefenen op de wanden, dacht ik. Helaas ben ik niet zeker of dit klopt?

En dan gewoon met rho . g . (h + 3) = druk

Daar zou ik dan de hoogte uit kunnen halen.

Helaas weet ik echt niet of dit de juiste redenering is. Dus: kan iemand zijn mening hier over geven?

Dank.

Ik zou hier gewoon de wet van Pascal toepassen. Ik meen dat je oplossing dan bijna goed is als ge i.p.v. h+3,h+dikte halve bol of gewoon h gebruikt.

Klik hier

Jan van de Velde

En de druk die op elk trapje aangrijpt is gewoon de druk op die hoogte?

Ja. Zo krijg je een benadering. Kunst is om dat in integralen te gieten.

Xenion

Ik heb er nog eens aan gedacht en ben tot de volgende redenering gekomen:

Afbeelding

De druk die hier getekend staat werkt in alle richtingen, dus zou nog 2pi gedraaid moeten worden.

Op die manier werkt een druk op een bepaalde hoogte op een cirkel in de sfeer, door te integreren loop je automatisch over de hele sfeer en omdat de druk enkel afhankelijk is van de hoogte, volstaat het van de lijnintegraal over de hoogte te nemen, in plaats van een integraal over de sfeer.

Als je de lijnintegraal niet wil gebruiken, kan je van de driehoek het bovenste stuk in de cilinder afsnijden en dan hou je een trapezium over.

De oppervlakte van dat trapezium kan je dan zonder integraal berekenen als:

\(\frac{3 (\rho g h + \rho g (h+3))}{2} = \frac{3\rho g (2h + 3)}{2}\)

De totale druk is dan

\(3 \pi \rho g (2h+3)\)

Als je het ooit het model-antwoord hiervan krijgt, mag je dat altijd hier posten, want ik ben wel benieuwd nu

Jan van de Velde

Ik heb de sfeer getrapt in segmenten van 0,25, 0,75, ...., 2,75 m hoogte Van elk segment bij benadering de oppervlakte berekend, en in gedachten de sfeer precies vol water gezet, zodat de druk op de bodem 3 mwk (= 1000 x 9,81 x 3) = 29430 N/m² is, en navenant de hoogte van mijn segment minder.

<table cellpadding="0" cellspacing ="0" border="1" class="bbc">[tr][td]traphoogte[/td][td]straal[/td][td] [/td][td]0pp segment[/td][td]druk mwk[/td][td]druk Pa[/td][td]kracht N[/td][/tr][tr][td] [/td][td]3[/td][td]28,26[/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][/tr][tr][td]0,25[/td][td]2,98[/td][td]27,88446[/td][td]0,375544[/td][td]2,75[/td][td]26977,5[/td][td]10131,24[/td][/tr][tr][td]0,75[/td][td]2,83[/td][td]25,14795[/td][td]2,73651[/td][td]2,25[/td][td]22072,5[/td][td]60401,62[/td][/tr][tr][td]1,25[/td][td]2,6[/td][td]21,2264[/td][td]3,921546[/td][td]1,75[/td][td]17167,5[/td][td]67323,14[/td][/tr][tr][td]1,75[/td][td]2,25[/td][td]15,89625[/td][td]5,33015[/td][td]1,25[/td][td]12262,5[/td][td]65360,96[/td][/tr][tr][td]2,25[/td][td]1,75[/td][td]9,61625[/td][td]6,28[/td][td]0,75[/td][td]7357,5[/td][td]46205,1[/td][/tr][tr][td]2,75[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]9,61625[/td][td]0,25[/td][td]2452,5[/td][td]23583,85[/td][/tr][tr][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][/tr][tr][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td]totaal: [/td][td]273005,9[/td][/tr][tr][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][/tr][tr][td] [/td][td]druk op [/td][td]bodem : [/td][td]28,26[/td][td]3[/td][td]29430[/td][td]831691,8[/td][/tr]</table>

mijn benadering levert in deze met water gevulde sfeer een opwaarts gerichte kracht van 273 kN. Dat is ruwweg 1/3 van wat de kracht zou zijn als er 3 mwk op de volledige 28,26 m² horizontaal projectieoppervlak zou drukken.

ik kom nog 490 - 273 = 217 kN tekort om de sfeer op te tillen. Daarvoor moet de druk op het totale oppervlak van 28,26 m² nog met 217 000 / 28,26 = 7 678 N/m² toenemen

7,678 / (1000 x 9,81) ≈ 0,8 mwk.

kortom, volgens mij gaat de sfeer de lucht in als de waterhoogte h in die standpijp ergens in de buurt van de 0,8 m bedraagt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oefening op druk / fluïdostatica, opheffen van sfeer

Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu

Re: Oefening op druk / flu