Bolcoördinaten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 37

Bolco

Volgende tekening is gegeven.

Afbeelding

De uitleg begint als volgt: (vectoren worden aangeduid door vet lettertype)

---

De plaatsvector in bolcoördinaten is:

OP = r = x1e1 + x2e2 + x3e3

Het vlak (e3P) snijdt e1e2 in OP' d.w.z. e' is eenheidsvector langs de snijlijn.

We oriënteren het vlak (e3P) zodat:

e = e3 cos(th) + e' sin(th) (th = theta)

met:

sin(th) > 0

0 < th < pi

zodat:

r = r cos(th) e3 + r sin(th) e'

r > 0

---

Hierna wordt de oriëntatie van het vlak e1e2 vastgelegd op een gelijkaardige manier, maar aangezien ik al vastzit bij e = e3 cos(th) + e' sin(th) zal ik hier maar mee beginnen.

Kan iemand uitleggen waar die gelijkheid vandaan komt?
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Bolco

Wellicht helpt het, als een eerst een rechthoekig blok tekent met links achteraan op de grond het punt O.

Teken ook het verticale diagonaalvlak door O.

Berichten: 37

Re: Bolco

thermo1945 schreef:Wellicht helpt het, als een eerst een rechthoekig blok tekent met links achteraan op de grond het punt O.

Teken ook het verticale diagonaalvlak door O.


Ik denk dat ik weet wat je bedoelt, maar het punt P ligt niet ter hoogte van het eindpunt van e3. (de projectie van OP volgens e3 is dus maw niet per se gelijk aan e3 maar wel aan z.e3 als z de lengte is van die projectie op e3) Op de tekening niet en het wordt ook niet gesteld. Of doel je ergens anders op? (of heb ik het fout?)
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Berichten: 146

Re: Bolco

ik snap je probleem niet echt denk ik..

maar als je het nou gewoon zo ziet:

e3 is de projectie van e op de z-as.

e' is de loodrechte projectie van e op het xy-vlak

e1 is de projectie van e' op de x-as en e2 is de projectie van e' op de y-as.

nu zit er tussen de richtingsvectoren e3 en e een hoek theta, dus om de projectie van e op e3 te bekomen moet je de richtingsvector e vermenigvuldigen met cos(theta) (cos=aanliggend/schuin)

of je nu de hoek phi tussen e of e' neemt maakt eigenlijk niet uit, want e' is de loodrechte projectie op het xy-vlak van e (het enige verschil tussen de twee zit hem tussen het feit dat e3 0 zal zijn als je in het xy-vlak werkt.

nu herhaal je gewoon wat je deed bij de z-as en e, maar nu dan voor de x-as en e'.

Berichten: 37

Re: Bolco

TerrorTale schreef:ik snap je probleem niet echt denk ik..

maar als je het nou gewoon zo ziet:

e3 is de projectie van e op de z-as.

e' is de loodrechte projectie van e op het xy-vlak

e1 is de projectie van e' op de x-as en e2 is de projectie van e' op de y-as.

nu zit er tussen de richtingsvectoren e3 en e een hoek theta, dus om de projectie van e op e3 te bekomen moet je de richtingsvector e vermenigvuldigen met cos(theta) (cos=aanliggend/schuin)

of je nu de hoek phi tussen e of e' neemt maakt eigenlijk niet uit, want e' is de loodrechte projectie op het xy-vlak van e (het enige verschil tussen de twee zit hem tussen het feit dat e3 0 zal zijn als je in het xy-vlak werkt.

nu herhaal je gewoon wat je deed bij de z-as en e, maar nu dan voor de x-as en e'.
Nee dat is het nu net, e3 is NIET de projectie van e op de z-as. (niet volgens de tekening en niet volgens de tekst die erbij wordt gegeven)

Ik zoek hier niet de afleiding van de transformatieformules van carthesische naar bolcoördinaten. Ik zoek een verklaring voor deze 'preamble', voorwaarden. De transformatieformules afleiden kan ik, daar is niks moeilijks aan. Maar dat is niet wat hier gedaan wordt.

Hier wordt de oriëntatie van het (e3 P)-vlak vastgelegd. Ik vraag me af waarom.
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Re: Bolco

We hebben het hier over eenheidsvectoren in een gewone 3-d ruimte. Dat betekent dat alle eenheidsvectoren een lengte van 1 hebben en dus nooit een projectie kunnen zijn van een andere eenheidsvector.
naamloos.GIF
naamloos.GIF (2.61 KiB) 456 keer bekeken
Beschouw het vlak van E3, E' en E. De ehv langs de schuine lijn (E) heeft componenten
\(E'cos(pi/2-\Theta)\)
en
\(E3cos(\Theta)\)
. Omdat cos(pi/2-x)=sin(x) krijg je de formule die jij ook opgekregen hebt. Toch?

Berichten: 37

Re: Bolco

bessie schreef:We hebben het hier over eenheidsvectoren in een gewone 3-d ruimte. Dat betekent dat alle eenheidsvectoren een lengte van 1 hebben en dus nooit een projectie kunnen zijn van een andere eenheidsvector.

[attachment=5790:naamloos.GIF]

Beschouw het vlak van E3, E' en E. De ehv langs de schuine lijn (E) heeft componenten
\(E'cos(pi/2-\Theta)\)
en
\(E3cos(\Theta)\)
. Omdat cos(pi/2-x)=sin(x) krijg je de formule die jij ook opgekregen hebt. Toch?
Bedankt voor je reactie. Waarom heeft die componenten
\(E'cos(pi/2-\Theta)\)
en
\(E3cos(\Theta)\)
volgens jou?

De cosinus is de verhouding van de aanliggende zijde op de schuine zijde, dus is
\(\cos{(\theta)} = \frac{x_3}{E}\)
met x3 de component van E volgens E3 en die component is dus niet gelijk aan
\(E_3 \cos{(\theta)}\)
maar wel gelijk aan
\(E \cos{(\theta)}\)
. En de component van E volgens E' is op analoge manier gelijk aan
\(E \sin{(\theta)}\)
. Daarom vind ik de formule die er staat zo vreemd. Als E nu geen eenheidsvector zou zijn, akkoord. Maar je noemt een vector toch niet E als het geen eenheidsvector is... Ik begin er nochtans wel aan te twijfelen. Misschien wordt hij E genoemd OMDAT hij de projectie van E3 en E' op de schuine (OP) is... Staat echter nergens in de tekst. En dat is toch iets waar je de aandacht op wilt vestigen als het zo is, me dunkt.
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Re: Bolco

naamloos.GIF
naamloos.GIF (2.25 KiB) 456 keer bekeken
Je hebt helemaal gelijk. Mijn plaatje was fout. Volgens mij is deze goed. Nu weet ik in elk geval dat je snapt waar je mee bezig bent! ](*,)

Berichten: 37

Re: Bolco

bessie schreef:[attachment=5795:naamloos.GIF]

Je hebt helemaal gelijk. Mijn plaatje was fout. Volgens mij is deze goed. Nu weet ik in elk geval dat je snapt waar je mee bezig bent! ](*,)


Hm, da's eens op een manier bekeken die ik nog niet gedaan had. Interessant. Ik vrees echter wel dat de gegeven gelijkheid hier ook niet uit volgt... (of toch niet zover ik het zie) Op jouw nieuwe tekening zou
\(E_3 \cos{(\theta)} + E' \sin{(\theta)}\)
groter zijn dan E, toch?
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Bolco

Wokke schreef:Volgende tekening is gegeven.

Afbeelding

De uitleg begint als volgt: (vectoren worden aangeduid door vet lettertype)

---

De plaatsvector in bolcoördinaten is:

OP = r = x1e1 + x2e2 + x3e3

Het vlak (e3P) snijdt e1e2 in OP' d.w.z. e' is eenheidsvector langs de snijlijn.

We oriënteren het vlak (e3P) zodat:

e = e3 cos(th) + e' sin(th) (th = theta)

met:

sin(th) > 0

0 < th < pi

zodat:

r = r cos(th) e3 + r sin(th) e'

r > 0

---

Hierna wordt de oriëntatie van het vlak e1e2 vastgelegd op een gelijkaardige manier, maar aangezien ik al vastzit bij e = e3 cos(th) + e' sin(th) zal ik hier maar mee beginnen.

Kan iemand uitleggen waar die gelijkheid vandaan komt?
De plaatsvector OP in bolcoördinaten wordt toch anders geschreven?

Als e3,e en e' eenheidsvectoren zijn dan liggen de eindpunten op een cirkel met straal 1 en kan men nooit de gevraagde

betrekking bewijzen?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 37

Re: Bolco

kotje schreef:De plaatsvector OP in bolcoördinaten wordt toch anders geschreven?

Als e3,e en e' eenheidsvectoren zijn dan liggen de eindpunten op een cirkel met straal 1 en kan men nooit de gevraagde

betrekking bewijzen?
Ook mijn gedachtengang. Ik vind het een héél vreemde gelijkheid... Maar omdat die helemaal wordt doorgetrokken vond/vind ik het wel erg onwaarschijnlijk dat dit nog niet opgevallen zou zijn. Het staat in m'n cursus Wiskundige Methoden id Fysica II en hoewel vele afleidingen hier niet echt duidelijk in uitgelegd staan, zou het me toch verbazen moest dit volledig fout zijn. Vandaar dit topic, ik wil weten wat anderen hiervan vinden.

Edit: volgende tekening toont nog eens een 2D situatieschets waarop volgens mij duidelijk is dat ook uit de andere kijk van Bessie niet het gevraagde volgt:

Afbeelding
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Bolco

Wokke schreef:Ook mijn gedachtengang. Ik vind het een héél vreemde gelijkheid... Maar omdat die helemaal wordt doorgetrokken vond/vind ik het wel erg onwaarschijnlijk dat dit nog niet opgevallen zou zijn. Het staat in m'n cursus Wiskundige Methoden id Fysica II en hoewel vele afleidingen hier niet echt duidelijk in uitgelegd staan, zou het me toch verbazen moest dit volledig fout zijn. Vandaar dit topic, ik wil weten wat anderen hiervan vinden.

Edit: volgende tekening toont nog eens een 2D situatieschets waarop volgens mij duidelijk is dat ook uit de andere kijk van Bessie niet het gevraagde volgt:

Afbeelding
Correctie:

En toch klopt de betrekking: e.e=1 =cos² ;) +sin² ](*,) =1
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 37

Re: Bolco

kotje schreef:Correctie:

En toch klopt de betrekking: e.e=1 =cos² ;) +sin² ](*,) =1
Aha, bedankt! Ik denk dat volgende redenering dan correct is:

Bovendien geldt in carthesische coördinaten:
\(\vec{e}.\vec{e} = g_{ij}e_ie_j = \sum_{i,j}{e_ie_j} = \sum_i{e_i^2} = e_{e_3}^2 + e_{e'}^2\)
Met
\(e_{e_3}\)
de component van e langs e3 en
\(e_{e'}\)
de component van e langs e'.

Identificatie met jouw betrekking geeft dan
\(e_{e_3} = \cos{(\theta)}\)
en
\(e_{e'} = \sin{(\theta)}\)
.

De vector e wordt dus bepaald door de vectorsom van de componenten langs de assen:
\(\vec{e} = \cos{(\theta)} \vec{e}_3 + \sin{(\theta)} \vec{e'}\)
.

Klopt deze redenering?
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Bolco

Klopt
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 37

Re: Bolco

Ha! ;) Heel erg bedankt kotje, ik ben blij dat ik nu toch begrijp waar die betrekking vandaan komt :-) Het was niet essentieel voor praktische toepassingen met bolcoördinaten, maar ik wou het desalniettemin (prachtig woord) graag weten.
Probeer niet betere antwoorden te geven dan wel betere vragen te stellen.

Reageer