Overgangsbogen

benned

Ik hou me bezig met simulatie van (spoor)wegen. Op dit moment zijn er alleen nog maar bogen met vaste boogstraal. Ik wil echter overgangsbogen toevoegen. Ik heb naar een aantal mogelijkheden gekeken, maar kom er niet echt uit welke vorm het beste is voor een real-time simulatie. Zeker bij treinen moeten er veel berekeningen gemaakt worden om een positie aan deze boog te bepalen. Als ik zoek naar clothoïde kom ik altijd uitgebreide integraal formules tegen, wat me om de eerder genoemde reden niet ideaal lijkt.

Het bepalen van de booglengte gebeurd niet real-time en kan dus een wat zwaardere berekening zijn, echter er moet wel real-time een positie op de boog opgevraagd kunnen worden op basis van een absolute afstand in meters in meters vanaf het begin van de boog. Weet iemand wat voor soort overgangsboog hiervoor het meest geschikt is?

klazon

Bij een spoorweg gebeuren in de overgangsboog twee dingen simultaan:

-de boogstraal wordt vanaf oneindig (=recht spoor) geleidelijk aan kleiner.

-de verkanting (scheefligging van het spoor) neemt lineair toe met de afgelegde afstand.

Aangezien de verkanting evenredig is met de kromming van het spoor, dat is de reciproke van de boogstraal, neemt de kromming dus ook toe evenredig met de afgelegde afstand.

Je krijgt op die manier een vorm die inderdaad klotoïde wordt genoemd. Maar voor praktisch gebruik is een klotoïde veel te ingewikkeld. Daarom wordt in de praktijk als overgangsboog een kubische parabool toegepast. Voor de relatief korte lengte van de overgangsboog is het verschil tussen de klotoïde en de kubische parabool praktisch verwaarloosbaar. En de kubische parabool is in het veld relatief makkelijk in te meten.

benned

Ik ben nu zo ver met de overgangsboog:

: overgangsboog.png (29.01 KiB) 1069 keer bekeken

De straal R is uiteraard bekend, de lengte L kan zelf bepaald worden of berekend worden aan de hand van de hoek op het punt waar de overgangsboog overgaat in de cirkelboog. De verschuiving van het rechte stuk ten opzichte van wanneer er geen overgangsboog is (variabele f) ben ik nog niet over uit. Ik lees dat deze waarde ongeveer overeen zou moeten komen met (L x L) : (24 * R) en dat komt ook wel ongeveer overeen. Echter, op basis van deze tekening met een boogstraal van 300 en een hoek van 30 graden kom ik uit op een lengte van 300. Met deze formule komt er dan een verschuiving van 12,5 uit. Als ik dan de overgangsboog teken met de volgende formules (met i van [0..1]):

x = i * L

y = i ^ 3 * Y

Dan kom ik uit op een eindhoek van ongeveer 27,7 graden, terwijl de cirkelboog begint met 30 graden. In de tekening is ook te zien dat de overgangsboog de cirkelboog snijdt, terwijl deze de cirkelboog alleen moet aanraken en wel precies bij het einde van de overgangsboog. Door de constante 24 te veranderen kan ik wel de juiste eindhoek bereiken en een mooi aansluitende boog maken, echter alleen bij deze specifieke lengte van de overgangsboog. Nu gebruik je in het echt lijkt mij geen overgangsboog van 300 meter voor een boog met een straal van 300 meter, deze waarden heb ik gekozen omdat de sinus van 30 graden precies 0.5 is en met makkelijker rekenen was. Echter, de afwijking is ook te zien bij kleinere overgangsboog met grotere boogstraal. Op wat voor manier is dit te verbeteren, waardoor de eindhoek van de overgangsboog aansluit op de cirkelboog?

klazon

Kijk eens hier

Dat is een aanbeveling uit een set normen voor modelspoorwegen.

Veel dieper dan dat ben ik er ook nog niet ingedoken.

De constante 24 gaat kennelijk alleen maar op voor overgangsbogen die relatief kort zijn t.o.v. R. Als L langer wordt moet je die konstante kleiner nemen om goed uit te komen.

Het onderdeel overgangsbogen maakt ook deel uit van het vak landmeetkunde. Misschien kun je ergens een leerboek over landmeetkunde vinden waarin dit verder wordt uitgediept.

benned

Dat document had ik ook gevonden, of in ieder geval eentje met hetzelfde nummer, want ik had een Nederlandse versie. Ik heb een aantal testen gedaan, en hoe korter de overgangsboog, hoe dichter het getal 24 genaderd wordt. De boogstraal is niet van invloed, het lijkt (zo blijkt ook uit dat document) om de verhouding lengte <> straal te gaan. Of, en zo ja welk verband er tussen bestaat kan ik echter niet vinden.

Wat ik ook nog niet kan vinden is of er een formule is om de booglengte te berekenen van een dergelijke parabool. Ik kan de lengte wel benaderen door met vele kleine stapjes te meten, maar de lengte kunnen berekenen is ook handig, aangezien ik ook moet kunnen bepalen waar het punt halverwege de boog zich bevind, gemeten over de boog zelf.

klazon

Hoe je de echte booglengte berekent zou ik niet weten. Ik weet wel dat in de praktijk de lengte van de voortgezette rechte als benadering voor de booglengte wordt genomen. Dat is dus het stuk L in de tekening.

Halverwege deze lengte, dus op 0,5L, ligt de overgangsboog precies halverwege de rechte en de vaste boog. Anders gezegd: daar deelt de overgangsboog de maat f precies in tweeën.

Dieper ben ik er zelf nooit op ingegaan, dus verder dan dit kan ik je niet helpen. Wellicht dat de echte wiskundigen hier een handje kunnen toesteken.

benned

Ik heb inmiddels een betere formule gevonden welke wel aansluit. Deze formules zijn ook een stukje uitgebreider, maar vooral om de parabool vast te stellen. In de gevonden formule ging dit op basis van boogstraal en lengte overgangsboog, maar ik heb de formules omgezet om ook vanaf boogstraal en hoek de lengte te berekenen. Bij deze formule stond ook een formule voor de booglengte:

\(m = \frac{Y}{X^3}\)

\(L = X + \frac{9}{10}m^2X^5 - \frac{9}{8}m^4X^9\)

Zoals de formule al doet vermoeden is het een benadering. De volledige formule is nog veel langer, met telkens grotere machten en breuken. De benadering is echter zelfs zonder deze extra getallen al vrij nauwkeurig zo blijkt uit tests.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Overgangsbogen

Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen

Re: Overgangsbogen