Partieel integreren, wat is mijn fout?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 1.116

Partieel integreren, wat is mijn fout?

Op het moment probeer ik
\(\frac{1}{36}x^6 \cdot (6 \ln{x}-1)\)
te primitiveren.

De uitkomst is bekend en is
\(x^5\ln{x} + C\)
. Echter de weg er naar toe doe ik op de één of andere wijze nog fout.

De regel voor partieel integreren is:
\(\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b - \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}\)
.
\(f(x) = 6 \ln{x}-1 \longrightarrow f'(x) = \frac{6}{x}\)
\(g(x) = \frac{1}{36}x^6 \longrightarrow g'(x) = \frac{1}{6}x^5\)
Even niet letten op het weglaten van de grenzen en de dx-jes en C:
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\)
\(F(x) = \int (6 \ln{x}-1)\left[\frac{1}{252}x^7\right]' = (\frac{1}{36}x^6 \cdot (6 \ln{x}-1)) - \int (\frac{6}{x}) \cdot (\frac{1}{36}x^6)\)
\(\int (\frac{6}{x}) \cdot (\frac{1}{36}x^6) = \int \frac{1}{6}x^6 = \frac{1}{42}x^7\)
Echter dan krijg ik:
\(F(x) = \frac{1}{36}x^6(6 \ln{x}-1) - \frac{1}{42}x^7\)
. Dit is vrij duidelijk niet hetzelfde als
\(x^5\ln{x}\)
Wat doe ik fout?

Dit is overigens voor mijzelf om te leren partieel integreren. Ik ben Nederlands en doe geneeskunde. Dit hoort dus niet tot mijn pakket. Het zou dus heel goed kunnen dat ik van het partieel integreren zelf nog niet zo veel begrepen heb.

Mochten jullie overigens nog leuke andere oefenopgaven hebben, dan zie ik die ook graag tegemoet.

Berichten: 25

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

De uitkomst is bekend en is
\(x^5\ln{x} + C\)
. Echter de weg er naar toe doe ik op de één of andere wijze nog fout.

De regel voor partieel integreren is:
\(\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b - \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}\)
.
\(f(x) = 6 \ln{x}-1 \longrightarrow f'(x) = \frac{6}{x}\)
\(g(x) = \frac{1}{36}x^6 \longrightarrow g'(x) = \frac{1}{6}x^5\)
Even niet letten op het weglaten van de grenzen en de dx-jes en C:
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\)
\(F(x) = \int (6 \ln{x}-1)\left[\frac{1}{252}x^7\right]' = (\frac{1}{36}x^6 \cdot (6 \ln{x}-1)) - \int (\frac{6}{x}) \cdot (\frac{1}{36}x^6)\)


1e fout: De g'(x) moet hier jouw 'normale' g(x) zijn .g(x) in het tweede deel van de formule moet dan de primitieve van g'(x) zijn!
\(\int (\frac{6}{x}) \cdot (\frac{1}{36}x^6) = \int \frac{1}{6}x^6 = \frac{1}{42}x^7\)
2e fout: dit is geen x^6 meer maar x^5

Echter dan krijg ik:
\(F(x) = \frac{1}{36}x^6(6 \ln{x}-1) - \frac{1}{42}x^7\)
. Dit is vrij duidelijk niet hetzelfde als
\(x^5\ln{x}\)
Wat doe ik fout?

Dit is overigens voor mijzelf om te leren partieel integreren. Ik ben Nederlands en doe geneeskunde. Dit hoort dus niet tot mijn pakket. Het zou dus heel goed kunnen dat ik van het partieel integreren zelf nog niet zo veel begrepen heb.

Mochten jullie overigens nog leuke andere oefenopgaven hebben, dan zie ik die ook graag tegemoet.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Kijk even naar de regel zoals je die zelf formuleert en kijk dan eens naar je keuze van f en g. Met die keuze zou je als integrand f(x)g(x) hebben, terwijl je f(x)g'(x) nodig hebt om de formule toe te passen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Ik weet niet waar je het antwoord vandaan hebt maar de afgeleide van x^5ln(x) is (5ln(x)+1)x^4 en niet de te primitiveren functie.

Berichten: 25

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Hier nog even een leuke oefenopgave:

g(x) = ( e^wortel(x))/wortel(x)

Wat is de primitieve(G(x)) van deze functie?

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

\(g(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\)
kan je veel beter met de substitutiemethode doen.
\(u = \sqrt{x} \longrightarrow du = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u} \longrightarrow dx = 2udu\)
\(\int \frac{e^u}{u} (2u)du = 2 \int {e^u} du \longrightarrow 2e^{\sqrt{x}}\)
Zal hem straks ook eens met deze methode proberen.
Ik weet niet waar je het antwoord vandaan hebt maar de afgeleide van x^5ln(x) is (5ln(x)+1)x^4 en niet de te primitiveren functie.
Stom, heb dus nog grotere fout gemaakt: de formules omgekeerd ;)

Poging 2:
\(\int g'(x)f(x) = \int x^5\ln{x}\)
\(g'(x) = x^5 \longrightarrow g(x) = \frac{1}{36}x^6\)
\(f(x) = \ln{x} \longrightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)
Is mijn begin in zoverre goed?
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \longrightarrow \ln{x}\frac{1}{36}x^6 - \int \frac{1}{x}x^5\)
\(\int \frac{1}{x}x^5 = \int x^4 \longrightarrow \frac{1}{5}x^5\)
En nu klopt het dus weer niet....

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\)
\(f = e^{\sqrt{x}} \longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}\)
\(g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \longrightarrow g(x) = 2\sqrt{x}\)
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\)
\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - \int (\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}) \cdot (2\sqrt{x})\)
\(\int (\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}) \cdot (2\sqrt{x}) = \int e^{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}\)
Dit zou leiden tot een primitieve die altijd 0 is... En dat is dus niet het geval: kortom, ik maak of een grandiose fout ergens of ik snap gewoon het gebruik niet.

Zou iemand deze primitivering met de partiële integratie voor willen doen? Zodat ik nadien kan proberen om mijn originele zelf te doen?

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Vinden jullie het erg als we eerst even de oorspronkelijke opgave uitwerken, alvorens andere aan te pakken?

JW, bij het primitiveren van x^5 ga je een stapje te hard. Als je 1/6 x^6 neemt komt het denk ik goed.

Berichten: 4.246

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - \int (\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}) \cdot (2\sqrt{x})\)
\( \int (\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}) \cdot (2\sqrt{x}) = \int e^{\sqrt{x}}\)
;)
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

bessie schreef:Vinden jullie het erg als we eerst even de oorspronkelijke opgave uitwerken, alvorens andere aan te pakken?

JW, bij het primitiveren van x^5 ga je een stapje te hard. Als je 1/6 x^6 neemt komt het denk ik goed.
Vind ik inderdaad niet erg. Het is om te leren. Dus laat ik gewoon weer vrolijk opnieuw beginnen:
\(\int g'(x)f(x) = \int x^5\ln{x}\)
\(g'(x) = x^5 \longrightarrow g(x) = \frac{1}{6}x^6\)
\(f(x) = \ln{x} \longrightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \longrightarrow \ln{x}\frac{1}{6}x^6 - \int \frac{1}{x}x^5\)
\(\int \frac{1}{x}x^5 = \int x^4 = \frac{1}{5}x^5\)
En toen zaten we er weer mee dat we te maken hebben met een vijfde en een zesde macht die totaal nog niet met elkaar kloppen.

Ik heb het vermoeden dat ik dus weer een fout gemaakt heb.

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

@dirkwb: Dat doe ik volgens mij in de volgende regel ook?

Berichten: 4.246

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

@dirkwb: Dat doe ik volgens mij in de volgende regel ook?
Inderdaad niet gezien, maar in de daaropvolgende regel is de primitieve fout, want als je dat differentieert krijg je de productregel.
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Inderdaad niet gezien, maar in de daaropvolgende regel is de primitieve fout, want als je dat differentieert krijg je de productregel.
Inderdaad is ie fout...
\(\int e^{\sqrt{x}}\)
\(u = \sqrt{x} \longrightarrow du = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u} \longrightarrow dx = 2udu\)
\(2\int (ue^u) du\)
\(\int f(u)g'(u) = f(u)g(u) - \int f'(u)g(u)\)
\(f(u) = u \longrightarrow f'(u) = 1\)
\(g'(u) = e^u \longrightarrow g(u) = e^u\)
\(\int f(u)g'(u) = f(u)g(u) - \int f'(u)g(u) \longrightarrow ue^u - \int e^u = ue^u - e^u = (u - 1)e^u\)
\(2\int(ue^u)du = 2(u-1)e^u = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}\)
Verdergaand op een voorgaande post:
\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - \int (\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}) \cdot (2\sqrt{x})\)
\(2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} + 2e^{\sqrt{x}} = 2e^{\sqrt{x}}\)
Hiephoi, de eerste keer dat het volledig gelukt is met dubbel gebruik van partieel integreren (en eenmalig gebruik van substitutie)! Tenminste, als er geen fouten in zitten. Tot in zoverre bedankt allen. Kunnen we weer verder gaan met de eerste, want ik ben nog steeds niet echter mijn eigen fout gekomen.

Berichten: 1.116

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

Laat ik nog maar een poging wagen:
\(\int f(x)g'(x) = \int x^5\ln{x}\)
Vergeet de C'tjes even...
\(f(x) = x^5 \Leftrightarrow f'(x) = 5x^4\)
\(g'(x) = \ln{x} \Leftrightarrow g(x) = x \ln{x} - x\)
\(\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \longrightarrow \int f(x)g'(x) = \int x^5\ln{x} = x^5\ln{x} - \int (5x^4) \cdot (x \ln{x} - x)\)
\(\int (5x^4) \cdot (x \ln{x} - x) = \int 5x^5\ln{x} - 5x^5 = \frac{-5}{6}x^6 + \int{5x^5\ln{x}} = \frac{-5}{6}x^6 + 5 \int{x^5\ln{x}}\)
\(\int x^5\ln{x} = x^5\ln{x} - \int (5x^4) \cdot (x \ln{x} - x) = x^5\ln{x} + \frac{5}{6}x^6 - 5 \int{x^5\ln{x}}\)
\(6 \int{x^5\ln{x}} = x^5ln{x} + \frac{5}{6}x^6\)
\(\int{x^5}\ln{x}} = \frac{1}{6}x^5ln{x} + \frac{5}{36}x^6\)
Iets te vroeg geplaatst...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Partieel integreren, wat is mijn fout?

JWvdVeer schreef:Laat ik nog maar een poging wagen:
\(\int f(x)g'(x) = \int x^5\ln{x}\)
Vergeet de C'tjes even...
\(f(x) = x^5 \Leftrightarrow f'(x) = 5x^4\)
\(g'(x) = \ln{x} \Leftrightarrow g(x) = x \ln{x} - x\)
Ik zou de andere keuze nemen, want met deze g'(x) is g(x) vinden eigenlijk nog eens partiële integratie.

Het zal ook een stuk eenvoudiger worden met de keuze f(x) = ln(x) en g'(x) = x^5; probeer maar eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer