De vraag is de volgende :
Vind de singuliere punten en de raaklijnen in deze punten voor elk van de volgende krommen :
\( F(x,y)=x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2} \)
\( F(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2}+3xy+1 \)
Oefening 1
Allereerst bereken ik de punten waarvoor zowel de partiëel afgeleide naar x als de partiëel afgeleide naar y gelijk is aan nul.
\( 4x^{3}-2xy^{2}=0 \)
en
\( 4y^{3}-2x^{2}y=0 \)
voor
\( P=(0,0) \)
P ligt op de kromme dus P is een singulier punt van F. De multipliciteit van dit singulier punt is 4 dus om de raaklijnen te vinden moet het deel van het voorschrift van de kromme van de vierde graad ontbonden worden. Dit deel is het hele voorschrift van de curve en dus
\( x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2} \)
. Deze veelterm is echter niet te ontbinden.
Mijn vraag is nu, wil dit zeggen dat er geen raaklijn is in
\( P=(0,0) \)
of trek ik de verkeerde conclusie?
Oefening 2
Hier heb ik een gelijkaardig probleem. Opnieuw ga ik eerst op zoek naar de singuliere punten. Dit is in dit geval
\( P=(1,1) \)
. Omdat het punt niet het punt (0,0) is doe ik eerst een verschuiving :
\( G(x,y)=F(x+1,y+1) = x^{3}+y^{3}+3xy \)
Van deze nieuwe kromme is
\( P=(0,0) \)
singulier punt met multipliciteit 2 dus kijken we naar het deel van de tweedegraad nl.
\( 3xy \)
. Dit is opnieuw niet te ontbinden. Wil dit opnieuw zeggen dat er geen raaklijn is aan F in
\( P=(1,1) \)
?