Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 14-07-'10, 15:47

Cerium

Gebruikersavatar
Berichten: 450

Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Hallo,

Ik ben een boek aan het doornemen over differentiaalvergelijkingen. Voor het volgende probleem lukt het mij niet om een correcte differentiaalvergelijking op te stellen. Het volgende is gegeven:

"De muggenpopulatie in een bepaald gebied neemt toe met een snelheid die evenredig is met de huidige populatie, en in de afwezigheid van andere factoren verdubbelt de populatie elke week. Initieel zijn er 200 000 muggen aanwezig. Veronderstel ook dat er 20 000 muggen per dag opgegeten worden door andere dieren. Bepaal de omvang van de populatie op elk moment."

Ik had de volgende differentiaalvergelijking in gedachten:
\(\frac{dp}{dt}=\frac{1}{7}p-20.000\)
Elke dag komt er
\(\frac{1}{7}\)
van de populatie (p) bij omdat de populatie elke week verdubbelt. Elke dag verdwijnen er ook 20.000 muggen. De eenheid van zowel
\(\frac{1}{7}\)
als 20.000 is
\(dag^{-1}\)
.

Als ik deze differentiaalvergelijking oplos kom ik niet tot een geloofwaardig resultaat. Ziet iemand een fout in mijn redenering?

Alvast bedankt
Omhoog

Bericht 14-07-'10, 16:08

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

De vorm van de vergelijking ziet me er correct uit.

Maar:
Elke dag komt er
\(\frac{1}{7}\)
van de populatie (p) bij
Ben je hier zeker van?

Bijvoorbeeld: als ik na twee dagen een dubbele populatie zou willen hebben, moet ik telkens 1/2 van de huidige populatie erbij tellen?
\(10 \rightarrow 15 \rightarrow 22.5 \neq 20\)
Je hebt dus een andere constante nodig.

Noem deze voorlopig bijvoorbeeld k en stel een vergelijking op om deze te bepalen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 14-07-'10, 17:02

Cerium

Gebruikersavatar
Berichten: 450

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Je tip heeft het gedaan denk ik ](*,) . Ik denk echter dat het gemakkelijker is om als tijdseenheid een week te nemen. Alleszins geldt dat onder normale omstandigheden, als er geen muggen zouden worden opgegeten, de populatie als volgt groeit:
\(\frac{dp}{dt}=k.p\)
Als we deze differentiaalvergelijking oplossen bekomen we het volgende:
\(p=C.e^{k.t}\)
Uit het feit dat op t=0 de populatie uit 200.000 muggen bestaat halen we dat de integratieconstante C gelijk is aan 200.000. Zodat:
\(p=200.000.e^{k.t}\)
Als we nu stellen dat na 1 week (t=1) de populatie verdubbeld is (en dus 400.000 muggen groot geworden is) volgt hier het volgende uit:
\(400.000 = 200.000.e^{k}\)
\(2 = e^{k}\)
\(k=ln(2)\)
De uiteindelijke differentiaalvergelijking als antwoord op de opgave:
\(\frac{dp}{dt}=ln(2).p-140.000\)
Klopt dit? Bedankt!
Omhoog

Bericht 14-07-'10, 17:31

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Volgens mij klopt het.

Mijn tip is, nu ik het bekijk, niet bijster goed. Verkeerd zelfs.

Als je het berekent voor een verdubbeling in twee stappen, vindt je
\(\frac{\ln{2}}{2}\)
, en ook dan klopt volgende niet:
\(10 \rightarrow 10(1+\frac{ln2}{2}) \rightarrow 10(1+\frac{ln2}{2})^2 \neq 20\)
Ik had gewoon beter kunnen zeggen dat je bij een continu proces niet rechtstreeks de gegeven snelheid mag gebruiken.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 15-07-'10, 17:40

bessie

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Ik kom op een ander antwoord uit. Gesteld dat er geen sterfte is ('afwezigheid van andere factoren') is de populatiegrootte per dag
\(N(d)=200.000.d^(^2^/^7)\)
want alleen dan is er exponentiele groei en verdubbelt de populatie in 7 dagen.

Nemen we aan dat de sterfte aan het eind van de dag wordt verrekend dan is de populatie
\(N(d)=200.000.d^(^2^/^7)-20.000.d\)
Nemen we hier de afgeleide naar de dag van dan ontstaat de dv
\(\frac{dN}{dd}=400.000/7. d^-^5^/^7-20.000\)
Volgens mij mag je de tijdconstante niet één week nemen omdat je dan de dagelijkse sterfte niet juist berekent.
Omhoog

Bericht 15-07-'10, 18:02

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Hoe stel jij je vergelijking op?

Je krijgt trouwens N(0)=0 in plaats van 200000

Ik denk dat je een formule probeert op te stellen die een discreet proces beschrijft, waarbij op het einde van de dag telkens een deel van de populatie (van die voorbije dag) bijkomt, niet waarbij gedurende elk tijdstip van de dag de populatie continu groeit. Er in dat verband al eens een discussie geweest hier.

Ik krijg de volgende differentiaalvergelijking voor (t=1dag):
\(p(t+dt)=p(t)+kpdt-20000dt\)
p(t) naar rechts brengen, delen door dt en limiet nemen geeft:
\(\frac{dp}{dt}=kp-20000\)
Nu willen we overgaan naar een week.
\(t\rightarrow 7t\)
\(\frac{dp}{d(7t)}=kp-20000\)
of
\(\frac{dp}{dt}=k'p-140000\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 17-07-'10, 10:44

bessie

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Ik heb de verkeerde formule genomen. Moet zijn N(d)=200.000 . k^(d). Omdat voor d=7 moet gelden dan N(7)=400.000 volgt
\(k=2^1^/^7\)
.

Indien per dag een sterfte optreedt van 20.000 wordt
\(N(d)=200.000 . 2^1^/^7^d - 20.000. d\)
en daarvan is de afgeleide, tenzij ik me vergis,
\(\frac{dN}{dd}=200.000 . 1/7 . ln(2) . 2^1^/^7^d - 20.000\)
Maar ik houd staande dat als de sterfte per dag wordt berekend, dit niet zomaar met 7 mag worden vermenigvuldigd om de wekelijkse sterfte te krijgen. Immers doordat al op dag één de populatie met 20.000 afneemt zal de normaal geldende vergelijking veranderen. Ik ga een getallenvoorbeeld opstellen om mezelf te overtuigen maar dat moet nog even wachten, ik heb ook nog jouw discussie door te spitten.

Jij hebt het probleem van de bepaling van k omzeild. Je mag best overgaan naar een andere tijdvariabele maar dan verandert k ook, dus volgens mij kun jij k niet juist berekenen.

Getallenvoorbeeld volgt nader,
Omhoog

Bericht 17-07-'10, 11:46

bessie

Re: Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie

Haha, het getallenvoorbeeld geeft me ongelijk:

daily weekly

growthfact 1,1040895 growthfact 2

mortality 20.000 mortality 140.000

day week

0 200.000 0 200.000

1 200.818 0 200.000

2 203.803 0 200.000

3 209.180 0 200.000

4 217.199 0 200.000

5 228.134 0 200.000

6 242.289 0 200.000

7 260.000 1 260.000

8 281.636 1 260.000

9 307.605 1 260.000

10 338.360 1 260.000

11 374.398 1 260.000

12 416.268 1 260.000

13 464.579 1 260.000

14 520.000 2 520.000

15 583.272 2 520.000

16 655.211 2 520.000

17 736.720 2 520.000

18 828.795 2 520.000

19 932.537 2 520.000

20 1.049.158 2 520.000

21 1.180.000 3 1.180.000

22 1.326.543 3 1.180.000

23 1.490.422 3 1.180.000

24 1.673.440 3 1.180.000

Op dag 7, 14 en 21 zijn beide populaties even groot. Conclusie: Het maakt niet uit welke tijdvariabele je gebruikt, ook niet als de groeifactor per week is gedefinieerd en de sterfte per dag. Je had gelijk, ZvdP. Maar volgende keer heb ik weer gelijk! Ik ga op zoek naar de latex manier om tabellen te maken...
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”