Springen naar inhoud

Bewijs stelling gezocht


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 10:58

Kan iemand mij helpen met het bewijs van de stelling die zegt dat het product van de afstanden van de 2 brandpunten van een ellips tot een raaklijn aan die ellips steeds gelijk is aan het kwadraat van de helft van de korte as (b dus)
maw |F1 P1|.|F2 P2| = b^2 (zie tekening)
Lijkt logisch en juist, maar ik kan het maar niet aantonen...
PS Alle nodige formules zijn mij bekend: vgl ellips, vgl raaklijn aan ellips, formule afstand punt-rechte , coordinaat brandpunten enz...
Kan iemand mij op de goede weg zetten?
ellips.JPG
---WAF!---

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 11:21

Je weet bij voorbaat al dat deze stelling klopt, of is dat ook nog een vraag? Dus we hoeven geen poging te ondernemen een tegenbewijs te verzinnen?

Je wilt dus een bewijs van: LaTeX .
En we hebben de volgende gegevens:
LaTeX
LaTeX (kortste afstanden, liggen normaal t.o.v. bisectrice het verlengde van de lijnen P1P2 en F1F2 die voor, dus zijn deze twee lijnen evenwijdig).
LaTeX (volgt uit vorige).


Neem aan dat er een voorwaarde bestaat dat t niet loodrecht staat op het verlengde van LaTeX en dus niet aan één van de toppen van de ellips geraakt?

Veranderd door JWvdVeer, 23 juli 2010 - 11:29


#3

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 11:35

-De stelling zou moeten kloppen (volgens de opgave), en dat lijkt ze ook ...
-Excuses, tekening is niet duidelijk:
a was bedoeld de halve lengte te zijn van de lange as, zoals gebruikelijk
laat ik voor de coordinaten van brandpunten maar (c,0) en (-c,0) nemen, zoals gebruikelijk met: c^2 = a^2 - b^2
-de raaklijn is willekeurig, de stelling klopt zeker als de raaklijn de toppen raakt, dat is niet zo moeilijk te bewijzen:
1)horizontale raaklijn: is evident want afstand van brandpunte tot horiz. raaklijn = b;
2)verticale raaklijn, dan is P1=P2, en dus |F1 P1|= a-c en |F2 P2|= a+c ; het product van die 2 geeft a^2 - c^2 wat gelijk is aan b^2
Mijn probleem is het 'algemene' geval te bewijzen...

Veranderd door Westy, 23 juli 2010 - 11:45

---WAF!---

#4

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 11:44

Ziehier de gecorrigeerde versie van de tekening
ellips.JPG
F1P1 en F2P2 zijn inderdaad evenwijdig, ze staan alletwee loodrecht op de raaklijn.
---WAF!---

#5

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 11:56

In de tekening die je nu gemaakt hebt is P1-F1 niet meer de korste afstand...

Mijn tekening van jouw probleem. Met even een aantal hulplijnen en punten die het ons mogelijk makkelijker kunnen gaan maken:

stelling_ellips.GIF .

Mee eens dat dit het probleem is?

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 11:59

Sorry beste JWvdVeer, ik begrijp je vraag niet goed. Ik denk dat er een communicatieprobleem is:
even terverduidelijking:
F1P1 is de afstand van brandpunt F1 tot de raaklijn t, dus F1P1 staat loodrecht op t (definitie afstand punt-rechte)
idem voor F2 P2
de korte as van de ellips heeft lengte 2b, de lange as heeft lengte 2a
de afstand van O tot F1 = de afstand van O tot F2 = c

Ok ik zie nu jouw tekening, alles ok behalve die lengte a, moet c zijn. Zoals gezegd is a de lengte van de halve lange as, niet de afstand van O tot de brandpunten, dat is c.

Veranderd door Westy, 23 juli 2010 - 12:02

---WAF!---

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10034 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 23 juli 2010 - 12:26

Heb je de verg v d raaklijn door T(p,q) aan de ellips?
Ken je afstandsformule van punt tot lijn?

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 12:29

F1P1 is de afstand van brandpunt F1 tot de raaklijn t, dus F1P1 staat loodrecht op t (definitie afstand punt-rechte)
idem voor F2 P2

Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft met LaTeX en LaTeX . De korste afstand, is de afstand tot van F1 loodrecht door de bisectricelijn naar t.

Een getallenvoorbeeld:
Stel je hebt een driehoek AF1P1. Met LaTeX (zie mijn tekening).

In jouw voorbeeld hebben we dus dat dan ook nog geldt LaTeX .
Bij jou geldt dan: LaTeX .

Bij mij zou gelden dat LaTeX en LaTeX .
In mijn geval geldt dan: LaTeX .

De enige lengte die onze driehoeken nog gemeen hebben is de afstand AF1.
Dus geldt LaTeX .

Dus wat is nu je werkelijke probleem?
Of beter: wat is de opgave en wat zijn de gegevens?

Veranderd door JWvdVeer, 23 juli 2010 - 12:38


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24137 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juli 2010 - 12:40

Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft met LaTeX

en LaTeX . De korste afstand, is de afstand tot van F1 loodrecht door de bisectricelijn naar t.

Ik begrijp niet helemaal wat jij precies bedoelt, maar de afstand van een brandpunt tot die (raak)lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat brandpunt op die (raak)lijn; dat is precies wat Westy met die rechte hoeken in zijn schets heeft aangeduid, denk ik...

Als je het analytisch wil doen, kan je de aanpak van Safe volgen, de afstanden bepalen en het product uitrekenen; vereenvoudigen tot b² m.b.v. alle gegevens over de ellips.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 12:50

Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft met  

Bij mij zou gelden dat  
Of beter: wat is de opgave en wat zijn de gegevens?

De opgave staat toch duidelijk in mijn vorige posts? Er is niets meer gegeven dan dit:
het product van de afstanden van de 2 brandpunten van een ellips tot een raaklijn aan die ellips steeds gelijk is aan het kwadraat van de helft van de korte as (b dus)
maw |F1 P1|.|F2 P2| = b^2 (zie mijn 2de -gecorrigeerde- tekening)
(misschien nog even dit: de afstand van een punt tot een rechte is per definitie altijd de loodrechte afstand)
---WAF!---

#11

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 13:00

Heb je de verg v d raaklijn door T(p,q) aan de ellips?
Ken je afstandsformule van punt tot lijn?

ellips in O: LaTeX
raaklijn aan ellips in punt LaTeX is LaTeX
afstand van een punt LaTeX tot een rechte ux+by+w=0 : LaTeX
coordinaten brandpunten: LaTeX en LaTeX
Als ik dit allemaal invul dan kom ik nergens...

Veranderd door Westy, 23 juli 2010 - 13:02

---WAF!---

#12

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 13:00

Ik begrijp niet helemaal wat jij precies bedoelt, maar de afstand van een brandpunt tot die (raak)lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat brandpunt op die (raak)lijn; dat is precies wat Westy met die rechte hoeken in zijn schets heeft aangeduid, denk ik...

Ok, gaan we daarvan uit.

Hier nieuwe situatieschets met hulplijnen.
stelling_ellips.GIF

#13

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 13:08

Ok, gaan we daarvan uit.

Gewoon om te weten: heb jij dan een andere begrip over de afstand van een punt tot een rechte dan de loodrechte afstand?

Jouw schets komt nu exact overeen met wat er in het gegeven gezegd wordt.
---WAF!---

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24137 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juli 2010 - 13:08

ellips in O: LaTeX


raaklijn aan ellips in punt LaTeX is LaTeX
afstand van een punt LaTeX tot een rechte ux+by+w=0 : LaTeX
coordinaten brandpunten: LaTeX en LaTeX
Als ik dit allemaal invul dan kom ik nergens...

Dat zou toch moeten lukken; ergens een foutje of vast in rekenwerk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2010 - 13:09

Gewoon om te weten: heb jij dan een andere begrip over de afstand van een punt tot een rechte dan de loodrechte afstand?

Nee, ik dacht gewoon even krom. En kromme lijnen van punt A naar B zijn altijd langer dan rechte lijnen van punt A naar B zoals je weet...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures