Bewijs stelling gezocht
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 581
Bewijs stelling gezocht
Kan iemand mij helpen met het bewijs van de stelling die zegt dat het product van de afstanden van de 2 brandpunten van een ellips tot een raaklijn aan die ellips steeds gelijk is aan het kwadraat van de helft van de korte as (b dus)
maw |F1 P1|.|F2 P2| = b^2 (zie tekening)
Lijkt logisch en juist, maar ik kan het maar niet aantonen...
PS Alle nodige formules zijn mij bekend: vgl ellips, vgl raaklijn aan ellips, formule afstand punt-rechte , coordinaat brandpunten enz...
Kan iemand mij op de goede weg zetten?
maw |F1 P1|.|F2 P2| = b^2 (zie tekening)
Lijkt logisch en juist, maar ik kan het maar niet aantonen...
PS Alle nodige formules zijn mij bekend: vgl ellips, vgl raaklijn aan ellips, formule afstand punt-rechte , coordinaat brandpunten enz...
Kan iemand mij op de goede weg zetten?
---WAF!---
-
- Berichten: 1.116
Re: Bewijs stelling gezocht
Je weet bij voorbaat al dat deze stelling klopt, of is dat ook nog een vraag? Dus we hoeven geen poging te ondernemen een tegenbewijs te verzinnen?
Je wilt dus een bewijs van:
En we hebben de volgende gegevens:
Neem aan dat er een voorwaarde bestaat dat t niet loodrecht staat op het verlengde van
Je wilt dus een bewijs van:
\(|F_1P_1| \cdot |F_2P_2| = b^2\)
.En we hebben de volgende gegevens:
\(|F_1O| = |F_2O| = a\)
\(F_1P_1 || F_2P_2\)
(kortste afstanden, liggen normaal t.o.v. bisectrice het verlengde van de lijnen P1P2 en F1F2 die voor, dus zijn deze twee lijnen evenwijdig).\(\angle P_1F_1O = 180° - \angle P_2F_2O\)
(volgt uit vorige).Neem aan dat er een voorwaarde bestaat dat t niet loodrecht staat op het verlengde van
\(F_1F_2\)
en dus niet aan één van de toppen van de ellips geraakt?- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
-De stelling zou moeten kloppen (volgens de opgave), en dat lijkt ze ook ...
-Excuses, tekening is niet duidelijk:
a was bedoeld de halve lengte te zijn van de lange as, zoals gebruikelijk
laat ik voor de coordinaten van brandpunten maar (c,0) en (-c,0) nemen, zoals gebruikelijk met: c^2 = a^2 - b^2
-de raaklijn is willekeurig, de stelling klopt zeker als de raaklijn de toppen raakt, dat is niet zo moeilijk te bewijzen:
1)horizontale raaklijn: is evident want afstand van brandpunte tot horiz. raaklijn = b;
2)verticale raaklijn, dan is P1=P2, en dus |F1 P1|= a-c en |F2 P2|= a+c ; het product van die 2 geeft a^2 - c^2 wat gelijk is aan b^2
Mijn probleem is het 'algemene' geval te bewijzen...
-Excuses, tekening is niet duidelijk:
a was bedoeld de halve lengte te zijn van de lange as, zoals gebruikelijk
laat ik voor de coordinaten van brandpunten maar (c,0) en (-c,0) nemen, zoals gebruikelijk met: c^2 = a^2 - b^2
-de raaklijn is willekeurig, de stelling klopt zeker als de raaklijn de toppen raakt, dat is niet zo moeilijk te bewijzen:
1)horizontale raaklijn: is evident want afstand van brandpunte tot horiz. raaklijn = b;
2)verticale raaklijn, dan is P1=P2, en dus |F1 P1|= a-c en |F2 P2|= a+c ; het product van die 2 geeft a^2 - c^2 wat gelijk is aan b^2
Mijn probleem is het 'algemene' geval te bewijzen...
---WAF!---
- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
Ziehier de gecorrigeerde versie van de tekening
F1P1 en F2P2 zijn inderdaad evenwijdig, ze staan alletwee loodrecht op de raaklijn.
F1P1 en F2P2 zijn inderdaad evenwijdig, ze staan alletwee loodrecht op de raaklijn.
---WAF!---
-
- Berichten: 1.116
Re: Bewijs stelling gezocht
In de tekening die je nu gemaakt hebt is P1-F1 niet meer de korste afstand...
Mijn tekening van jouw probleem. Met even een aantal hulplijnen en punten die het ons mogelijk makkelijker kunnen gaan maken:
.
Mee eens dat dit het probleem is?
Mijn tekening van jouw probleem. Met even een aantal hulplijnen en punten die het ons mogelijk makkelijker kunnen gaan maken:
.
Mee eens dat dit het probleem is?
- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
Sorry beste JWvdVeer, ik begrijp je vraag niet goed. Ik denk dat er een communicatieprobleem is:
even terverduidelijking:
F1P1 is de afstand van brandpunt F1 tot de raaklijn t, dus F1P1 staat loodrecht op t (definitie afstand punt-rechte)
idem voor F2 P2
de korte as van de ellips heeft lengte 2b, de lange as heeft lengte 2a
de afstand van O tot F1 = de afstand van O tot F2 = c
Ok ik zie nu jouw tekening, alles ok behalve die lengte a, moet c zijn. Zoals gezegd is a de lengte van de halve lange as, niet de afstand van O tot de brandpunten, dat is c.
even terverduidelijking:
F1P1 is de afstand van brandpunt F1 tot de raaklijn t, dus F1P1 staat loodrecht op t (definitie afstand punt-rechte)
idem voor F2 P2
de korte as van de ellips heeft lengte 2b, de lange as heeft lengte 2a
de afstand van O tot F1 = de afstand van O tot F2 = c
Ok ik zie nu jouw tekening, alles ok behalve die lengte a, moet c zijn. Zoals gezegd is a de lengte van de halve lange as, niet de afstand van O tot de brandpunten, dat is c.
---WAF!---
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs stelling gezocht
Heb je de verg v d raaklijn door T(p,q) aan de ellips?
Ken je afstandsformule van punt tot lijn?
Ken je afstandsformule van punt tot lijn?
-
- Berichten: 1.116
Re: Bewijs stelling gezocht
Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft metF1P1 is de afstand van brandpunt F1 tot de raaklijn t, dus F1P1 staat loodrecht op t (definitie afstand punt-rechte)
idem voor F2 P2
\(|F_1P_1|\)
en \(|F_2P_2|\)
. De korste afstand, is de afstand tot van F1 loodrecht door de bisectricelijn naar t.Een getallenvoorbeeld:
Stel je hebt een driehoek AF1P1. Met
\(\angle F_1AP_1 = 30°\)
(zie mijn tekening).In jouw voorbeeld hebben we dus dat dan ook nog geldt
\(\angle AP_1F_1 = 90°\)
.Bij jou geldt dan:
\(P_1F_1 = AP_1 \sin(30°) = AF_1 \tan(30°)\)
.Bij mij zou gelden dat
\(AP_1 = AF_1\)
en \(\angle AP_1F_1 = \angle AF_1P_1 = \frac{180° - 30°}{2} = 75°\)
.In mijn geval geldt dan:
\(P_1F_1 = 2\sin(15°)AF_1 = 2\sin(15°)AP_1\)
.De enige lengte die onze driehoeken nog gemeen hebben is de afstand AF1.
Dus geldt
\(2\sin(15°)AF_1 < \tan(30°)AF_1 \because 2\sin(15°) < \tan(30°) \approx 0.518 < (\frac{1}{3}\sqrt{3} \approx 0.577)\)
.Dus wat is nu je werkelijke probleem?
Of beter: wat is de opgave en wat zijn de gegevens?
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs stelling gezocht
Ik begrijp niet helemaal wat jij precies bedoelt, maar de afstand van een brandpunt tot die (raak)lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat brandpunt op die (raak)lijn; dat is precies wat Westy met die rechte hoeken in zijn schets heeft aangeduid, denk ik...Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft met\(|F_1P_1|\)en\(|F_2P_2|\). De korste afstand, is de afstand tot van F1 loodrecht door de bisectricelijn naar t.
Als je het analytisch wil doen, kan je de aanpak van Safe volgen, de afstanden bepalen en het product uitrekenen; vereenvoudigen tot b² m.b.v. alle gegevens over de ellips.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
Maar dat is niet de korste afstand. En dat is wat jij wel aangeeft met\(|F_1P_1|\)Bij mij zou gelden dat\(AP_1 = AF_1\)De opgave staat toch duidelijk in mijn vorige posts? Er is niets meer gegeven dan dit:Of beter: wat is de opgave en wat zijn de gegevens?
het product van de afstanden van de 2 brandpunten van een ellips tot een raaklijn aan die ellips steeds gelijk is aan het kwadraat van de helft van de korte as (b dus)
maw |F1 P1|.|F2 P2| = b^2 (zie mijn 2de -gecorrigeerde- tekening)
(misschien nog even dit: de afstand van een punt tot een rechte is per definitie altijd de loodrechte afstand)
---WAF!---
- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
ellips in O:Safe schreef:Heb je de verg v d raaklijn door T(p,q) aan de ellips?
Ken je afstandsformule van punt tot lijn?
\( b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)
raaklijn aan ellips in punt \((x_0,y_0)\)
is \(b^2xx_0+a^2yy_0=a^2b^2\)
afstand van een punt \((x_1,y_1)\)
tot een rechte ux+by+w=0 : \(d= \frac{|ux_1+vy_1+w|}{ \sqrt{u^2+v^2}}\)
coordinaten brandpunten: \(( \sqrt{a^2-b^2},0)\)
en \((- \sqrt{a^2-b^2},0)\)
Als ik dit allemaal invul dan kom ik nergens...
---WAF!---
-
- Berichten: 1.116
Re: Bewijs stelling gezocht
Ok, gaan we daarvan uit.Ik begrijp niet helemaal wat jij precies bedoelt, maar de afstand van een brandpunt tot die (raak)lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat brandpunt op die (raak)lijn; dat is precies wat Westy met die rechte hoeken in zijn schets heeft aangeduid, denk ik...
Hier nieuwe situatieschets met hulplijnen.
- Berichten: 581
Re: Bewijs stelling gezocht
Gewoon om te weten: heb jij dan een andere begrip over de afstand van een punt tot een rechte dan de loodrechte afstand?Ok, gaan we daarvan uit.
Jouw schets komt nu exact overeen met wat er in het gegeven gezegd wordt.
---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs stelling gezocht
Dat zou toch moeten lukken; ergens een foutje of vast in rekenwerk?Westy schreef:ellips in O:\( b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)raaklijn aan ellips in punt\((x_0,y_0)\)is\(b^2xx_0+a^2yy_0=a^2b^2\)afstand van een punt\((x_1,y_1)\)tot een rechte ux+by+w=0 :\(d= \frac{|ux_1+vy_1+w|}{ \sqrt{u^2+v^2}}\)coordinaten brandpunten:\(( \sqrt{a^2-b^2},0)\)en\((- \sqrt{a^2-b^2},0)\)
Als ik dit allemaal invul dan kom ik nergens...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Bewijs stelling gezocht
Nee, ik dacht gewoon even krom. En kromme lijnen van punt A naar B zijn altijd langer dan rechte lijnen van punt A naar B zoals je weet...Gewoon om te weten: heb jij dan een andere begrip over de afstand van een punt tot een rechte dan de loodrechte afstand?