Notatie integralen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 8

Notatie integralen

Laats stootte ik op volgende formule:

Afbeelding

Dit is allemaal heel logisch maar uiteindelijk komt het erop neer dat je dit ook als volgt kan omschrijven:

Afbeelding

Nu snap ik niet goed waarom er nu plots "dg" (linkerlid) of ""df" (rechterlid) staat ipv dx, zoals het meestal voorkomt. Eigelijk weet ik niet goed wat het nut is van die "dx", kan iemand mij soms in woorden uitleggen wat dit betekend?

Alvast bedankt!

Berichten: 1.116

Re: Notatie integralen

dx betekent delta-x ofwel, de delta van variabele/functie x. Door met de d te werken geef je aan dat de functie over een bepaalde variabele/functie gedifferentieerd is, meestal x zoals je terecht aangeeft.

Echter voor x kun je ook een andere variabele of functie. Hier berust bijv. o.a. de regel voor integratie d.m.v. substitutie op: Wikipedia.

Stel je hebt de integraal:
\(\int \frac{e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,\mbox{d}x\)
\(u(x) = \sqrt{x} \longrightarrow u'(x) = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u} \longrightarrow x'(u) = \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}u} = 2\sqrt{x} = 2u\)
\(\int \frac{e^u}{u} \cdot 2 u\,\mbox{d}u = 2\int e^u\,\mbox{d}u = 2e^u = 2e^\sqrt{x}\)
En inderdaad kun je schrijven:
\(\int f\,\mbox{d}g = fg - \int g\,\mbox{d}f\)
Dat is namelijk de regel van de partiële integratie: wikipedia.

Je bent overigens wel bekend met deze schrijfwijzen:
\(\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}g} = f'(g)\)
(vergelijk met:
\(y'(x) = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\)
).

Als we gewoon ingaan op wat dx nu eigenlijk betekent. Kunnen we daarin op zich vrij kort zijn en waarom het noodzaakelijk is deze te noteren kunnen we vrij kort zijn met een voorbeeld.

Stel, iemand heeft elke 1/10e seconde gemeten wat de versnelling was van de auto waar hij in zat. Je weet dat de beginsnelheid van de auto 5 m/s is. Nu kun je daarmee een inschatting maken van de snelheid op tijdstip t.

Immers, die iemand heeft een lijstje van versnellingen berekend (wij noemen deze nu even a):
\(\Delta t = 0.1s\)
\(v_0 = 5\frac{m}{s}\)
.
\(v_t = v_0 + \sum_{x=1}^{\frac{t}{\Delta t}} (a_x \cdot \Delta t)\)
.

Stel dus dat diegene een lijst van versnellingen heeft uitgevonden {1, 2, 3, 4, 2, 0 -2, -4, -6} (index begint bij 1). Dan geldt dus voor de snelheid op t=1s, dat deze ongeveer gelijk is aan (laat eenheden voor wat ze zijn):
\(v_t = v_0 + \sum_{x=1}^{\frac{t}{\Delta t}} (a_x \cdot \Delta t) \longrightarrow v_1 = 5 + \sum_{x=1}^{10t} (a_x \cdot 0.1) = 5\)
.

Stel dat we nu die
\(\Delta t\)
zo klein maken en hem reduceren tot 0 (dus om binnen het voorbeeld te blijven: continue meten, waarbij op tijdspan [0s, 1s] niet-aftelbaar oneindig veel waarden worden gevonden die te beschrijven zijn met een functie a). Dan krijg je:
\(\Delta t = 0\)
(wordt dus in feite dt).
\(v_t = v_0 + \lim_{\Delta t \rightarrow 0^+}\left(\sum_{x=1}^{\frac{t}{\Delta t}} a_x \cdot \Delta t\right) = v_0 + \int a_t\, \mbox{d}t\)
Ofwel, bij limitering krijg je simpel gesteld de volgende veranderingen:
\(\sum := \int, \Delta t := \mbox{d}t\)
.

dt is dus eigenlijk gewoon echt een factor waarmee je vermenigvuldigt!

In dit geval is dt een variabele. Maar t zou even goed een functie kunnen zijn die weer van iets anders afhangt.

Die omschrijving en van de formules is op de engelse wiki overigens beter te volgen: Engelse wikipedia, integration by parts.
\((f(x)g(x))' = f(x) g'(x) + f'(x) g(x)\)
Integratie beide zijden:
\(f(x) g(x) = \int f(x) g'(x)\, dx + \int f'(x) g(x)\, dx\)
Rearrangeren van termen:
\(\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\)

Re: Notatie integralen

Een wat korter, zij het misschien theoretisch minder juist antwoord zou zijn, dat als je de integraal berekent over

f(x)g'(x)dx, je in feite mag substitueren g'(x)=d(g(x))/dx=dg/dx.

Als je dat doet (maar kijk goed uit of er niet ergens een wiskundige zit te gluren) dan zie je dat de integrand de volgende vorm aanneemt:

f(x)dg(x)/dx.dx=f(x)dg(x), of met de tweede substitutiemogelijkheid f(x)dg/dx.dx=f(x)dg.

(dx/dx=1). Als je aanneemt dat x de enige variabele is waarvan g en f afhankelijk zijn, dan maakt het niet uit of je f(x) of f, resp. g(x) of g schrijft. In de kortste notatie wordt de integrand nu fdg.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Notatie integralen

dx betekent delta-x ofwel, de delta van variabele/functie x. Door met de d te werken geef je aan dat de functie over een bepaalde variabele/functie gedifferentieerd is, meestal x zoals je terecht aangeeft.
De 'd' in dx (of d...) is zeker geen delta! De (hoofdletter) delta wordt gebruikt voor eindige verschillen, zoals Δx = x2-x1 of Δt = t2-t1. De kleine letter delta is nog iets anders, niet direct relevant in deze context.

De 'dx' in een integraal zie je best als louter notatie waaraan je (inderdaad) kan zien naar welke variabele je integreert. De notatie met df moet je dan interpreteren zoals een differentiaal, er geldt: df = df/dx dx, dus als f een functie van x is: d(f(x)) = f'(x) dx.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer