Laatst kwam ik volgende integraal tegen:
S dx/[(x-1/2)^2+3/4]
*S is dan het teken voor Summa, ik weet niet hoe ik dit anders kan typen.
Volgens mijn curcus is dit gelijk aan 1/(V3/2) * Arctg[(x-1/2)/(V3/2)]
Er staan echter geen tussenstappen bij en ik heb geen idee hoe ze hieraan komen.. Hulp gevraagd!
Alvast erg bedankt!
Laatste berichten
-
21:15
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 4
-
20:18
Rood laserlicht 1
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Hulp bij een integraal
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.116
Re: Hulp bij een integraal
Moet je LaTeX voor gebruiken.*S is dan het teken voor Summa, ik weet niet hoe ik dit anders kan typen.
Ik begrijp dat dit je integraal is:
\(\int \frac{\mbox{d}x}{(x - \frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}}\)
?Ofwel:
\(\int \frac{1}{x^2-x+1} \mbox{d}x\)
Hier kun je wat meer mee?Kijk ook eens de lijst van standaardintegralen eens door: http://nl.wikipedia.org/wiki/Lijst_van_integralen. Hoe ze er aan komen mag Joost wetegen, maar daar zie je tenminste het ontstaan van jouw integraal (onder rationale functies).
-
- Berichten: 2.097
Re: Hulp bij een integraal
Je moet de noemer juist niet weer opzetten naar ax2+bx+c, tenmiste wanneer je hem wil oplossen zonder een formularium.
Herleid de integraal via een gepaste substitutie naar de standaardintegraal:
Herleid de integraal via een gepaste substitutie naar de standaardintegraal:
\(\int \frac{dx}{x^2+1}=atan(x)+C\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 1.116
Re: Hulp bij een integraal
Noem dat maar rustig `substituties`... (al kun je ze wel samenvoegen, totHerleid de integraal via een gepaste substitutie naar de standaardintegraal:\(\int \frac{dx}{x^2+1}=atan(x)+C\)
\(u = \frac{2}{\sqrt{3}}(x - \frac{1}{2})\)
, wat ik gewoon simpelweg niet direct zag).En tja, die is op zich totaal niet moeilijk (alleen veel werk):
\(\int \frac{\mbox{d}x}{(x - \frac{1}{2})² +\frac{3}{4}}\)
\(u = x - \frac{1}{2} \longrightarrow du = dx\)
\(\int \frac{\mbox{d}u}{u² + \frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \int \frac{\mbox{d}u}{\frac{4}{3}(u² + \frac{3}{4})} = \frac{4}{3} \int \frac{\mbox{d}u}{(\frac{2}{\sqrt{3}}u)² + 1}\)
\(v = \frac{2}{\sqrt{3}}u \longrightarrow \mbox{d}v = \frac{2}{\sqrt{3}}\mbox{d}u \longrightarrow \mbox{d}v = \frac{\sqrt{3}}{2}\mbox{d}u\)
\(\frac{4}{3} \int \frac{\mbox{d}u}{(\frac{2}{\sqrt{3}}u)² + 1} = \frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{\mbox{d}v}{v²+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{\mbox{d}v}{v²+1}\)
\(v = \tan y \longrightarrow \mbox{d}v = 1+\tan^2y\,\mbox{d}y\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{\mbox{d}v}{v²+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{\mbox{d}y}{\tan^2 y+1} \cdot 1+\tan^2y\,\mbox{d}y = \frac{2}{\sqrt{3}}\int \mbox{d}y = \frac{2}{\sqrt{3}}y + C = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan v + C\)
In omgekeerde volgorde terugsubstitueren:\(V(v) = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(v) + C\)
\(U(u) = V\left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)\)
\(X(x) = U(x - \frac{1}{2}) = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\)
\(\int \frac{\mbox{d}x}{(x - \frac{1}{2})² +\frac{3}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\)
En uiteraard geeft Wolfram-Alpha mij gelijk: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+d...B2+%2B+3%2F4%29 (klinkt helemaal geen arrogantie in door, enkel trots ](*,) ).En volgens mij kan die nog een stuk verder vereenvoudigd worden...Volgens mijn curcus is dit gelijk aan 1/(V3/2) * Arctg[(x-1/2)/(V3/2)]
Overigens sta ik er voor open dat er nog een aantal schoonheidsfoutjes in mijn oplossing zitten.
-
- Berichten: 2.097
Re: Hulp bij een integraal
Het was natuurlijk 'slimmer' geweest om eerst te vermenigvuldigen met 4/3 om die '+1' te bekomen, en dan pas de substitutie te doen, dat scheelt een substitutie.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Berichten: 1.116
Re: Hulp bij een integraal
Inderdaad was dat slimmer geweest. Het was alleen jammer dat ik dat gewoon later zag (nadat ik het al volledig had uitgewerkt). En dus dacht ik: laat maar zitten.
Het idee is in elk geval duidelijk.
Als je echter op de eerder aangehaalde site kijkt, zie je dat men twee formules hanteert. Ik heb er al heel wijs naar zitten kijken uiteraard. Maar vraag me nog steeds af waarom dat nu zo nodig is en hoe ze er aan komen...
Dus dacht ik laat ik er maar zelf één verzinnen en kijken of ik er uit kom...
Stel we hebben de integraal:
Daar trekken we ons nu gewoon even helemaal niets van aan, en we volgen gewoon star onze oude methode:
Iemand nog goede ideeën?
Het idee is in elk geval duidelijk.
Als je echter op de eerder aangehaalde site kijkt, zie je dat men twee formules hanteert. Ik heb er al heel wijs naar zitten kijken uiteraard. Maar vraag me nog steeds af waarom dat nu zo nodig is en hoe ze er aan komen...
Dus dacht ik laat ik er maar zelf één verzinnen en kijken of ik er uit kom...
Stel we hebben de integraal:
\(\int \frac{\mbox{d}x}{x^2+4x-2}\)
Hier geldt de genoemde voorwaarde \(b² > 4ac = 16 > -8\)
Dan zou ik zeggen, dat je deze kunt schrijven als:\(\int \frac{\mbox{d}x}{(x + 2)² - 6}\)
Hier kom je er al achter dat het niet werkt zoals bij de andere. In dit geval kun je namelijk wel gaan vermenigvuldigen met -1/6. Maar je schiet er niet mee op omdat het kwadraat uit een reëel getal nooit negatief zal zijn.Daar trekken we ons nu gewoon even helemaal niets van aan, en we volgen gewoon star onze oude methode:
\(-\frac{1}{6} \int \frac{\mbox{d}x}{-\frac{1}{6}(x + 2)² + 1}\)
\(u = \sqrt{\frac{-1}{6}}(x + 2) = \frac{i(x + 2)}{\sqrt{6}} \longrightarrow \mbox{d}u = \frac{u}{\sqrt{6}}\mbox{d}x \longrightarrow \mbox{d}x = \frac{\sqrt{6}}{i}\mbox{d}u\)
\(-\frac{1}{6} \int \frac{\mbox{d}x}{-\frac{1}{6}(x + 2)² + 1} = -\frac{\sqrt{6}}{i}\frac{1}{6}\int \frac{\mbox{d}u}{u² + 1} = -\frac{1}{i\sqrt{6}}\int \frac{\mbox{d}u}{u² + 1} = \frac{i}{\sqrt{6}}\int \frac{\mbox{d}u}{u² + 1}\)
\(u = \tan y \longrightarrow \mbox{d}u = \tan^2y\,\mbox{d}y\)
\(\frac{i}{\sqrt{6}}\int \frac{\mbox{d}u}{u² + 1} = \frac{i}{\sqrt{6}}\int \frac{\mbox{d}u}{\tan^2y+1} \cdot \tan^2y\,\mbox{d}y = \frac{i}{\sqrt{6}} \int \mbox{d}y = \frac{i}{\sqrt{6}}y\)
Terug substitueren:\(\frac{i}{\sqrt{6}}y = \frac{i}{\sqrt{6}}\arctan u = \frac{i}{\sqrt{6}}\arctan\left(\frac{i(x + 2)}{\sqrt{6}}\right)\)
\(\tanh x = -i \tan ix \longrightarrow \tanh^{-1}x = -i\arctan ix \longrightarrow -\tanh^{inv}x = i\arctan ix\)
\(\frac{i}{\sqrt{6}}\arctan\left(\frac{i(x + 2)}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{\tanh^{inv}\left(\frac{x-2}{\sqrt{6}}\right)}{\sqrt{6}}\)
Maar hier zie ik geen kans om een log-functie van te maken... ](*,) Iemand nog goede ideeën?
-
- Berichten: 24.578
Re: Hulp bij een integraal
Verplaatst naar huiswerk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hulp bij een integraal
Hier moet je breuksplitsen.JWvdVeer schreef:Stel we hebben de integraal:
\(\int \frac{\mbox{d}x}{x^2+4x-2}\)
Hier geldt de genoemde voorwaarde\(b² > 4ac = 16 > -8\)
-
- Berichten: 2.097
Re: Hulp bij een integraal
\(atanh=\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
-
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Hulp bij een integraal
@JWvdVeer: Zie http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integ...bolic_functions
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 1.116
Re: Hulp bij een integraal
@Safe:
Ik snap dat je daar de breuk kunt splitsen, gezien je te maken hebt met een oplosbare tweedemachtsvergelijking. Maar het ging even om de vraag waarom ze twee manieren hanteren.
Nu snap ik uiteindelijk wel waarom ze die twee manieren hanteren. Maar de oude manier voldeed duidelijk ook (je loopt dan alleen met complexe getallen in je functie te rommelen).
@Mathbreak:
In dit geval heb je niets aan integralen. Het gaat enkel om het omschrijven van functies. Ofwel: atanh uitdrukken in logaritmes in dit geval. Zoals je kunt zien bij ZVdP.
Ik snap dat je daar de breuk kunt splitsen, gezien je te maken hebt met een oplosbare tweedemachtsvergelijking. Maar het ging even om de vraag waarom ze twee manieren hanteren.
Nu snap ik uiteindelijk wel waarom ze die twee manieren hanteren. Maar de oude manier voldeed duidelijk ook (je loopt dan alleen met complexe getallen in je functie te rommelen).
@Mathbreak:
In dit geval heb je niets aan integralen. Het gaat enkel om het omschrijven van functies. Ofwel: atanh uitdrukken in logaritmes in dit geval. Zoals je kunt zien bij ZVdP.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hulp bij een integraal
JWvdVeer schreef:@Safe:
Ik snap dat je daar de breuk kunt splitsen, gezien je te maken hebt met een oplosbare tweedemachtsvergelijking. Maar het ging even om de vraag waarom ze twee manieren hanteren.
Nu snap ik uiteindelijk wel waarom ze die twee manieren hanteren. Maar de oude manier voldeed duidelijk ook (je loopt dan alleen met complexe getallen in je functie te rommelen)..
Maar het ging even om de vraag waarom ze twee manieren hanteren.
Ik begrijp even je vraag niet.Nu snap ik uiteindelijk wel waarom ze die twee manieren hanteren
-
- Berichten: 1.116
Re: Hulp bij een integraal
Wel, laat ik het zo zeggen:
Ik snap jouw oplossingswijze, met de manier van:
Ik snap jouw oplossingswijze, met de manier van:
\(x^2+4x-2 = 0\)
\(D = b² - 4ac = 24\)
\(x = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} -2\pm\frac{\sqrt{24}}{2} = -2\pm\sqrt{6}\)
\(\int \frac{\mbox{d}x}{x^2+4x-2} = \int \frac{1}{x-2-\sqrt{6}}\cdot \frac{1}{x-2+\sqrt{6}}\,\mbox{d}x\)
Maar ik wilde gewoon eigenwijs de vorige manier aanhouden. En om dan een negatief getal in een wortel uit te moeten drukken kom je in de complexe getallen terecht.-
- Berichten: 581
Re: Hulp bij een integraal
kan je door breuksplitsen (opsplitsen in partieelbreuken) schrijven als\(\int \frac{\mbox{d}x}{x^2+4x-2} = \int \frac{1}{x-2-\sqrt{6}}\cdot \frac{1}{x-2+\sqrt{6}}\,\mbox{d}x\)
\(\frac{\sqrt(6)}{12} \left( \int\frac{dx}{x-\sqrt(6)+2}-\int\frac{dx}{x+\sqrt(6)+2} \right) \)
en dan wordt het natuurlijk heel simpel...---WAF!---
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hulp bij een integraal
Maar begrijp je ook wanneer je de ene of de andere manier moet gebruiken?
