Differentiaalvergelijking

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 412

Differentiaalvergelijking

Hallo!

Ik zit ondertussen al een half uur te zoeken op een (onnozele) differentiaalvergelijking, en het wilt maar niet lukken. Zou er iemand eventjes kunnen helpen aub?
\(\frac{dv}{dt} + kv - g = 0\)
v is de snelheid, t is de tijd, k is een evenredigheidcoëfficiënt, g de valversnelling.

De techniek die je moet toepassen is scheiding der veranderlijken, maar ik zie maar niet hoe je dat moet doen... Er is geen term met t, wel één met v, maar ik zie niet hoe je v daaruit krijgt. Want als je 't als som laat staan heb je niet .dv achter de v en kan je niet integreren, en als je deelt door v dan zit je met g/v...

(En ik weet dat scheiding der veranderlijken een simpele techniek is, het lukt gewoon niet meer, argh ;) . Voor hulp zou ik zeer dankbaar zijn ;) )
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking

Je hebt v'(t) = g-kv dus...? Nu delen door het rechterlid en dt naar de andere kant.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Differentiaalvergelijking

Ik ben hier ook niet zo goed in, maar volgens mij moet je hier de homogene en particuliere oplossing zoeken.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking

Ik ben hier ook niet zo goed in, maar volgens mij moet je hier de homogene en particuliere oplossing zoeken.
Dat kan, maar is niet nodig. Scheiding van veranderlijken werkt ook...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: Differentiaalvergelijking

Je hebt v'(t) = g-kv dus...? Nu delen door het rechterlid en dt naar de andere kant.
v(t) = gt - kvt? Ik snap niet zo goed wat je met die tweede zin bedoelt?

De oplossing in mijn cursus is
\(\ln \frac{g-kv}{g} = -kt\)
trouwens, dus ik had zo het vermoeden dat je 1/v dv ergens moest hebben, maar dat lukt dus niet...
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking

Dus dv/dt = g-kv, waaruit dv/(g-kv) = dt (zie stappen die ik hierboven beschreef).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: Differentiaalvergelijking

Dus dv/dt = g-kv, waaruit dv/(g-kv) = dt (zie stappen die ik hierboven beschreef).
Ah, ja ;) Maar dan zit ik nog vast... Ik heb dit:
\(\frac{dv}{dt} = g - kv\)
\(\int{\frac{dv}{g-kv}} = \int{dt}\)
\(\frac{-1}{k} \int{\frac{d(g-kv)}{g-kv}} = \int{dt}\)
\(ln |g-kv| + C = - kt\)
Het moet echter dit zijn:
\(ln \frac{|g-kv|}{g} = - kt\)
Die C is weg te krijgen met beginvoorwaarden, maar hoe zit dat met die 1/g?

Bedankt voor de reacties trouwens :)

En Xenion: 't is een stukje uit mijn cursus, en daar staat in dat het met scheiding der veranderlijken moet. Dus ik doe het gewoon zo, kwestie van het risico op een tweede buis zo klein mogelijk te maken ;) (ook al is die andere manier niet fout, je weet nooit :) )
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking

Laura. schreef:
\(ln |g-kv| + C = - kt\)
Het moet echter dit zijn:
\(ln \frac{|g-kv|}{g} = - kt\)
Bedankt voor de reacties trouwens ;)
Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: Differentiaalvergelijking

Via ln(a/b) = ln(a)-ln(b) kan je dat er wel in krijgen, -ln(g) is immers een constante; dat zal dus precies van de constante komen (na beginvoorwaarde).
Ah, ja, inderdaad ;)

Bedankt!
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking

Geen probleem; succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer