Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-08-'10, 19:43

Tudum

Berichten: 412

Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Hallo!

Ik zit vast met een bewijs voor de wet van behoud van mechanische energie. Het volgende tekstje bevindt zich in mijn cursus:
De wet kan ook bewezen worden door aan te tonen dat de mechanische energie T + V in een conservatief krachtveld onafhankelijk is van de tijd, of:
\( \frac{d(T + V)}{dt} = 0\)
\(\frac{dT}{dt} = ...\)
(1)
\(\frac{dV}{dt} = ... \)
(2)

zodat:
\(\frac{d(T+V)}{dt} = 0 \)
Hierin is T overigens kinetische energie en V potentiële energie. Het probleem zit bij de puntjes.

Uitwerking (1):
\(\frac{dT}{dt} = \frac{d(\frac{1}{2} m v^2^}{dt} = mv \frac{dv}{dt} = mva\)
Hier nog geen probleem (denk ik). Maar dan:

Uitwerking (2):
\(\frac{dV}{dt} = \frac{d(\int \vec K . \vec{ds})}{dt} = \vec K . \vec{ds} = m.\vec a.\vec{ds} \)
Daar zit heel de hoop problemen.

Het eerste probleem is of ik niet weet of ik wel van de juiste definitie van potentiële energie start. Ik weet dat:
\(dA = \vec K . \vec{ds} = - dV \)
en dat
\(A_{1 \rightarrow 2} = V_1 - V_2 \)
dus ik had aangenomen dat
\(V = \int \vec K. \vec{ds}\)
. Maar ik krijg dan die vectoren niet weg, en als ik die al zou wegkrijgen, zit ik nog met die ds. Argh. ;)

Ik denk dat het probleem zit bij het wegkrijgen van vectoren, want ergens wat meer naar voor in de cursus staat
\( \vec r . \vec{ds} = r dr\)
, en dat snap ik bijvoorbeeld ook niet.
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 19:58

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Ik denk dat je hierna toe moet:
\(\frac{dV}{dt} = K . \frac{ds}{dt} = -mav \)
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 20:08

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

dirkwb schreef:Ik denk dat je hierna toe moet:
\(\frac{dV}{dt} = K . \frac{ds}{dt} = -mav \)
Ja, maar hoe geraak je daar?

De m is in orde. Maar de a is nog een vector ipv een scalair. Aan de v geraak ik gewoon niet. En het minteken staat er ook niet...
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 20:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Het minteken komt wellicht al eerder, want je zegt dA = -dV dus dV = -dA. Het "laten vallen" van de afgeleide (naar t) tegen de integraal kan maar als dat ook een integraal naar t is; dus iets als:
\(-\int {\vec K \cdot \mbox{d}\vec s} = -\int {\vec K \cdot \frac{{\mbox{d}\vec s}}{{\mbox{d}t}}} dt = -\int {\vec K \cdot \vec v} \, \mbox{d}t\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 20:26

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Ik vind het best wel raar dat we behoud van mechanische energie bewijzen aan de hand van definities. Nog al logisch dat het dan klopt. We definiëren kinetische energie als de arbeid die nodig is om een voorwerp te versnellen van v1 naar v2, en potentiële energie wordt gedefinieerd als
\(V=-\int \vec{F} \cdot \ d \vec{r}=-W\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:57

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

In een conservatief vectorveld is dV=-dT of dV/dt=-dT/dt.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 10:43

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

TD schreef:Het minteken komt wellicht al eerder, want je zegt dA = -dV dus dV = -dA. Het "laten vallen" van de afgeleide (naar t) tegen de integraal kan maar als dat ook een integraal naar t is; dus iets als:
\(-\int {\vec K \cdot \mbox{d}\vec s} = -\int {\vec K \cdot \frac{{\mbox{d}\vec s}}{{\mbox{d}t}}} dt = -\int {\vec K \cdot \vec v} \, \mbox{d}t\)
Ik vind het best wel raar dat we behoud van mechanische energie bewijzen aan de hand van definities. Nog al logisch dat het dan klopt. We definiëren kinetische energie als de arbeid die nodig is om een voorwerp te versnellen van v1 naar v2, en potentiële energie wordt gedefinieerd als
\(V=-\int \vec{F} \cdot \ d \vec{r}=-W\)
In een conservatief vectorveld is dV=-dT of dV/dt=-dT/dt.
Ja, maar dat staat nergens in mijn cursus daarvoor, dus het lijkt me raar dat dat (direct, zonder het eerst af te leiden) gebruikt wordt in dat bewijs?
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:08

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Zo dan:
\(T=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{dT}{dt}=mv dv=\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r} \)
\(V=V(\vec{r}) \Rightarrow \frac{dV}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial x } \frac{dx}{dt}-\frac{\partial V}{\partial y } \frac{dy}{dt}-\frac{\partial V}{\partial z } \frac{dz}{dt}=-\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\)


Maar ik weiger zoiets een bewijs te noemen ;) Aantonen lijkt me meer passen.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:21

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Morzon schreef:Zo dan:
\(T=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{dT}{dt}=mv dv=\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r} \)
\(V=V(\vec{r}) \Rightarrow \frac{dV}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial x } \frac{dx}{dt}-\frac{\partial V}{\partial y } \frac{dy}{dt}-\frac{\partial V}{\partial z } \frac{dz}{dt}=-\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\)
Maar ik weiger zoiets een bewijs te noemen ;) Aantonen lijkt me meer passen.
Oh, dank u! Dat ziet er pakken juister uit dan hetgeen ik had ;)

Alleen... van
\( m dv\)
maak je
\(\vec F\)
ipv F? Hoe komt het dat je daar ineens een vector van mag maken?
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:26

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Ik ben bang dat daar een foutje zit. dT/dt moet zijn mva
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:33

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Ik ben bang dat daar een foutje zit. dT/dt moet zijn mva


Maar dan is
\(\frac{dT}{dt} \neq - \frac{dV}{dt} \)
? Of begrijp ik het nu verkeerd?
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:38

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Nee hoor alles klopt gewoon, behalve dan dat dv a moest zijn. Dat komt doordat ik in mijn hoofd bezig was met dT en niet dT/dt.

Dus zo moet het kloppen:
\(T=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{dT}{dt}=mav=\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r} \)
\(V=V(\vec{r}) \Rightarrow \frac{dV}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial x } \frac{dx}{dt}-\frac{\partial V}{\partial y } \frac{dy}{dt}-\frac{\partial V}{\partial z } \frac{dz}{dt}=-\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:39

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

Morzon schreef:Nee hoor alles klopt gewoon, behalve dan dat dv a moest zijn. Dat komt doordat ik in mijn hoofd bezig was met dT en niet dT/dt.

Dus zo moet het kloppen:
\(T=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{dT}{dt}=mav=\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r} \)
\(V=V(\vec{r}) \Rightarrow \frac{dV}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial x } \frac{dx}{dt}-\frac{\partial V}{\partial y } \frac{dy}{dt}-\frac{\partial V}{\partial z } \frac{dz}{dt}=-\frac{d}{dt} \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\)


Maar hoe krijg je daar opeens die
\( \vec F\)
in? Je hebt toch a en niet
\(\vec a\)
?
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:46

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

\(mav=mv \frac{dv}{dt} =m\frac{1}{dt} v dv=\frac{1}{2} m \frac{1}{dt} d(v^2)=\frac{1}{2}m \frac{1}{dt} d(\vec{v} \cdot \vec{v})...\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 13:51

Tudum

Berichten: 412

Re: Bewijs wet van behoud van mechanische energie

\(mav=mv \frac{dv}{dt} =m\frac{1}{dt} v dv=\frac{1}{2} m \frac{1}{dt} d(v^2)=\frac{1}{2}m \frac{1}{dt} d(\vec{v} \cdot \vec{v})...\)
Heel hard bedankt!

Het is duidelijk nu ;)
Vroeger Laura.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”