Afgeleide

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-08-'10, 11:36

lucca

Berichten: 758

Afgeleide

\( f(x) = (1-\sin{x})\cos{x} \)
\( f(x) = \cos{x} - \frac{1}{2}\sin{2x} \)
\( \frac{df(x)}{dx} = -\sin{x} - \frac{1}{2}\cos{2x} * 2 \)
\( \frac{df(x)}{dx} = -\sin{x} - \cos{2x} \)

\( \frac{df(x)}{dx} = 0 \)
\( \sin{x} = - \cos{2x} \)
\( \sin{x} = 2\sin^2{x} - 1 \)
\( 2\sin^2{x} - \sin{x} - 1 = 0 \)
\( \sin{x} = t \)
\( 2t^2 - t -1 = 0 \)
Mijn vraag, kan dit niet korter? ....
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 11:44

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide

Ziet er goed uit; eventueel niet naar een kwadratische vergelijking maar via verwante hoeken (complementaire hoeken) een sinus in cosinus omzetten of omgekeerd; gaan naar de vorm sin(a) = sin(b), of met cosinus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 11:46

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Afgeleide

trokkitrooi schreef:
\( f(x) = (1-\sin{x})\cos{x} \)
\( f(x) = \cos{x} - \frac{1}{2}\sin{2x} \)
\( \frac{df(x)}{dx} = -\sin{x} - \frac{1}{2}\cos{2x} * 2 \)
\( \frac{df(x)}{dx} = -\sin{x} - \cos{2x} \)

\( \frac{df(x)}{dx} = 0 \)
\( \sin{x} = - \cos{2x} \)
\( \sin{x} = 2\sin^2{x} - 1 \)
\( 2\sin^2{x} - \sin{x} - 1 = 0 \)
\( \sin{x} = t \)
\( 2t^2 - t -1 = 0 \)
Mijn vraag, kan dit niet korter? ....
Dat kan korter:
\( \sin{x} = - \cos{2x} \)
cos(2x)=-sin(x)=sin(-x), welke eigenschap van de sinus gebruik ik hier?

Hoe maak je van een sin een cos?

Je werkt dus toe naar cos(A)=cos(B) enz.
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 11:58

lucca

Berichten: 758

Re: Afgeleide

Oja, tuurlijk...
\( -\sin{x} = \cos{2x} \)

\( \sin{(-x)} = \cos{2x} \)
( sinus op grond van symmetrie!)
\( \cos{(\frac{\pi}{2}--x)} = \cos{2x} \)
\( \cos{(\frac{\pi}{2}+x)} = \cos{2x} \)
\( \frac{\pi}{2}+x = 2x + k * 2\pi \)
of
\( \frac{\pi}{2}+x = -(2x + k * 2\pi) \)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 12:35

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Afgeleide

Heel goed! Succes.
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 12:56

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide

Je kan nu natuurlijk nog oplossen naar x. Misschien eens interessant: vind je dezelfde oplossing via jouw oorspronkelijke methode? Is een goede controle.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:23

lucca

Berichten: 758

Re: Afgeleide

eigen manier
\( \sin{x} = 1 \)
of
\( \sin{x} = \frac{-1}{2} \)
1.
\( x = \frac{\pi}{2} + k * 2\pi \)
of (en/of)

2.
\( \frac{7}{6}\pi + k * 2 \pi \)
én
\( \frac{11}{6} \pi + k * 2 \pi \)
manier aangereikt Safe

1.
\( x = \frac{\pi}{2} + k * 2\pi \)
(klopt dus)

2.
\( 3x = -\frac{\pi}{2} + k * 2 \pi \)

\( x = -\frac{\pi}{6} + k * \frac{2}{3} * \pi \)
klopt gedeeltelijk

1 1/6 pi en 1 5/6 pi zijn vertegenwoordigd, maar in dezen ook de 1/6 pi en 5/6 pi. Het lijkt alsof er in dezen geen rekening wordt gehouden met de eis van negativiteit. Waar zit nu de fout? ;)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:34

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide

Ik begrijp het probleem niet, welke oplossingen ontbreken er volgens jou bij welke methode?
2.
\( \frac{7}{6}\pi + k * 2 \pi \)
én
\( \frac{11}{6} \pi + k * 2 \pi \)
Die "én" is ook een "of", x kan niet beide tegelijk zijn...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:42

lucca

Berichten: 758

Re: Afgeleide

bij de aangereikte manier van safe krijg je bij 2. -1/6 , 5/6 1,5 , 1/6 2 5/6 etc.

Maar volgens de eerste manier mag je alleen 1 1/6 + k * 2pi en -1/6 + k * 2pi en dus niet 5/6 en 1/6....
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:46

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide

Ik vind je notatie niet duidelijk, soms is de komma een scheiding van verschillende getallen en soms voor een kommagetal...?

Probeer eventueel de oplossingen onder deel 2 van methode Safe eens grafisch voor te stellen op een eenheidscirkel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:54

lucca

Berichten: 758

Re: Afgeleide

Ik ga het nu heel netjes (proberen)!

Over het eerste gedeelte ben ik het eens :
\( x = \frac{\pi}{2} + k * 2\pi \)


Over het tweede gedeelte niet.

mijn manier
\( \frac{7}{6}\pi + k * 2\pi \)
en
\( \frac{11}{6}\pi + k * 2\pi \)
Dit levert dus :
\( \pi * (\frac{7}{6} , \frac{11}{6} , \frac{19}{6} , \frac{23}{6}) \)
andere manier

AHA! Die tweede beschrijving dekt ook die pi/2 af! toch?

Te weten :
\( \pi * (\frac{-1}{6} , \frac{1}{2} , \frac{7}{6} , \frac{11}{6}) \)
Foutje....
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 19:55

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Afgeleide

AHA! Die tweede beschrijving dekt ook die pi/2 af! toch?
Inderdaad, die oplossing zit er in deze manier van noteren dus 'dubbel' in; het tweede stuk komt ook voorbij de veelvouden van pi/2; maar die zitten al in 1 en zaten ook in de oplossingen van de andere methode.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”