2e raaklijn van functie vinden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 14

2e raaklijn van functie vinden

Hallo,

Ik heb een opgave die ik maar voor 50% kan oplossen:

Bepaal de standaardvorm van de vergelijking van de raaklijn(en) aan de grafiek van de functie:

f(x)=
\(\frac{x³}{3}-x²+2\)
en die evenwijdig is (zijn) aan de rechte a:

y=3x+6

Nu heb ik al een correcte oplossing gevonden namelijk:

y=3x-7 ;)

Er staat echter nog een oplossing vermeld die ik niet vind:

y=
\(\frac{9}{3}\)
x+
\(\frac{11}{3}\)
Hoe kom ik aan die 2e oplossing ?

Bedankt!

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Hoe heb je je eerste oplossing berekend? Ik denk via een kwadratische vergelijking, want de afdgeleide van deze functie is een kwadratische?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Rechten zijn evenwijdig als ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een functie in een punt is de waarde van de afgeleide van de functie in dat punt. Die zaken weet je? Heb je op die manier ook de eerste oplossing gevonden?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 14

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Bij de eerste oplossing heb ik de a waarde van de gegeven rechte gebruikt (a=3).

Want bij evenwijdige rechten is de richtingscoëfficiënt gelijk aan elkaar.

Daarna heb ik de oplossing y=3x-7 gevonden door het toepassen van de formule:

y-f(a)=f'(a)*(x-a)

Nu veronderstel ik dat ik de 2e raaklijn op diezelfde manier moet berekenen ?

Maar welke richtingscoëfficiënt moet ik hiervoor gebruiken ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Heb je in dit geval voor die a gewoon 3 genomen...? Het is de rico die gelijk moet zijn aan 3, niet a. Hier kwam dat 'toevallig' uit, omdat de rico in x = 3 ook gelijk is aan 3 (dat is in het algemeen niet zo!).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 14

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Nee ik heb niet gewoon die 3 genomen uit de gegeven rechte.

Ik heb eerst de rico ingevuld volgens f(a).

Dit kwam 2 uit.

Daarna heb ik f' (x) berekent en kwam ik 3 uit.
\(f'(a)=\frac{3*3²}{3} - 6 =3\)
Ik veronderstel dat dit de goede manier is ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Je zal toch iets duidelijker moeten zijn; geef eens nauwkeurig aan (alle stappen) hoe je tot je eerste oplossing bent gekomen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 14

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Hier mijn volledige uitwerking voor de eerste raaklijn:
\(f(x)=\frac{x³}{3}-x²+2\)
y=3x+6

rico=a=3
\(f(a)=\frac{3³}{3}-3²+2 = 2\)
\(f'(x)= \frac{3x²}{3} -2x\)
\(f'(a)=\frac{3*9}{3} -6=3\)
\(y-f(a)=f'(a)*(x-a)\)
\(y-2=3(x-3) = 3x -9 +2\)
\(y=3x-7\)
Nu moet ik alleen nog de 2e vgl vinden met als antwoord:
\(y= \frac {9}{3}x+\frac {11}{3}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 2e raaklijn van functie vinden

NortD schreef:Nee ik heb niet gewoon die 3 genomen uit de gegeven rechte.

Ik heb eerst de rico ingevuld volgens f(a).

Dit kwam 2 uit.
NortD schreef:Hier mijn volledige uitwerking voor de eerste raaklijn:
\(f(x)=\frac{x³}{3}-x²+2\)
y=3x+6

rico=a=3

Nee, je heb toch gewoon 3 (inderdaad de rico) voor a ingevuld; dat is niet a!

Opdat de raaklijn evenwijdig is met de gegeven rechte, moet de rico 3 zijn. Je weet op voorhand niet in welke punten dat zal gebeuren... Je kent alleen de (gewenste) rico. Maar dat is de waarde van de afgeleide in die (onbekende) punten. Je moet dus de afgeleide gelijkstellen aan 3 (eisen dat de rico van de raaklijn 3 is) en dan oplossen naar x om te weten in welke punten dat gebeurt. Dan kan je de vergelijkingen van de raaklijnen opstellen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: 2e raaklijn van functie vinden

naamloos.GIF
naamloos.GIF (6.75 KiB) 357 keer bekeken

Berichten: 39

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Bedankt alweer iedereen,

Nu bekom ik voor de A waarden:
\(3= \frac{3x²}{3}-2x\)
\(\frac {3x²}{3}-2x-3\)
Via de ABC formule vind ik dan:

Discriminant = 16

x1=3

x2=-1

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Juistem, nu moet je nog de y-coordinaten van de twee raakpunten vinden. Hoe?

Berichten: 39

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Waarom heb ik de y-coördinaten nodig ?

Ik kan toch gewoon die -1 invullen in de vgl:
\(y-f(a)=f'(a)*(x-a)\)
Zoals ik gedaan heb bij de andere a waarde, 3.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 2e raaklijn van functie vinden

Als je a invult in f(a), heb je de y-waarde natuurlijk... Maar inderdaad, het is gewoon die formule toepassen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer