Volgende stap in integraalvergelijking

renee.dbr

Opnieuw twee differentiaalvergelijkingen die ik niet opgelost krijg. Het lijkt een heleboel maar ik heb even iedere stap uitgewerkt die ik al gemaakt heb.

Als eerste een 1e orde differentiaal vergelijking:

y * dy + (xy^2- 8x) * dx = 0

y * dy + x * (y^2 - 8) * dx = 0

y * dy = -x * (y^2 - 8) * dx

y / (y^2 - 8) * dy = -x * dx

1 / (y - 8/y) * dy = integraal van (-x) dx is gelijk aan - 1/2 * x^2 + C

Ik weet niet hoe ik het linkerdeel moet integreren.

Als tweede een 2e orde differentiaalvergelijking:

dy/dx - y cos x - sin 2x = 0

dy/dx - y cos x = sin 2x

Eerst moet ik hem homogeen oplossen, dus

dy/dx - y cos x = 0

Scheiden van variabelen geeft

dy/dx = y cos x

1/y dy = cos x dx

Beide integreren

ln y = sin x + C1

y = e^(sin x + C1) = e^(sin x) * e^C1 = C2 e^(sin x)

Om de particuliere oplossing te vinden vul ik dan in in de oorspronkelijke vergelijking, waarbij ik stel dat C2 een functie is van x

d(C(x)*e^(sin x)/dx - C(x)e^(sin x) cos x = sin 2x

Uitwerken met behulp van de kettingregel voor differentieren geeft

C'(x) * e^(sin x) + C(x) * cos x * e^(sin x) - C(x) * cos x * e^(sin x) = 2 sin x

Twee termen vallen tegen elkaar weg dus

C'(x) e^(sin x) = 2 sin x

C'(x) = (2 sin x)/(e^(sinx))

Nu wil ik C(x) te weten komen, maar ik weet dus niet goed hoe dat moet. Ik heb geprobeerd de kettingregel toe te passen maar daarmee raak ik in de knoop. Kan iemand de volgende stap voor me uitleggen?

JWvdVeer

y / (y^2 - 8) * dy = -x * dx

1 / (y - 8/y) * dy = integraal van (-x) dx is gelijk aan - 1/2 * x^2 + C

Mogen deze twee opvolgende stappen wel?

Je deelt links wel door y, maar rechts niet...?!

En je kunt gewoon breuksplitsen om dit te integreren... of substitutie... (nog handiger

).

Xenion

Mogen deze twee opvolgende stappen wel?

Hij deelt teller en noemer in het linkerlid door y, dat mag gewoon. (Op voorwaarde dat y verschillend is van 0 uiteraard.)

Xenion

\(\int \frac{y dy}{y^2 - 8}\)

Hij deelt teller en noemer in het linkerlid door y, dat mag gewoon. (Op voorwaarde dat y verschillend is van 0 uiteraard.)

Zij*, mijn excuses

renee.dbr

Xenion schreef:
\(\int \frac{y dy}{y^2 - 8}\)

Je hoeft hier niet te vereenvoudigen zoals jij doet.

De afgeleide van de noemer is 2y, zie je hier dan geen substitutie in?

Breuksplitsen ken ik eigenlijk niet maar het ziet er uit alsof het te doen is, maar ik denk dat inderdaad verwacht wordt dat ik het met substitutie oplos. Substitutie heb ik nog niet uitgeprobeerd, omdat we dat eigenlijk niet of nauwelijks hebben hoeven doen in college. Ik zal er eens mee gaan prutsen en kijken of dat lukt, bedankt voor de tips!

TD

Substitutie is hier veel eenvoudiger (en sneller) dan breuksplitsen, dat laatste zou ik hier niet toepassen.

JWvdVeer

Breuksplitsen ken ik eigenlijk niet maar het ziet er uit alsof het te doen is, maar ik denk dat inderdaad verwacht wordt dat ik het met substitutie oplos.

Ik zou nu ook voor substitutie gaan. Maar het oplossen met breuksplitsen zou hier heel goed kunnen:

1. Bepaal de mogelijke noemers.

\(y² - 8 = (y + \sqrt{8}) \cdot (y - \sqrt{8}) \longrightarrow \frac{y}{y² - 8} = \frac{A}{y + \sqrt{8}} + \frac{B}{y - \sqrt{8}}\)

2. Bepaal de bijbehorende tellers.

\(A\left(y - \sqrt{8}\right) + B\left(y + \sqrt{8}\right) = y \longrightarrow (A + B)y + (B-A)\sqrt{8} = y \longrightarrow A + B = 1 \wedge B - A = 0\)

\((A + B) + (B - A) = (1 + 0) \longrightarrow 2B = 1 \longrightarrow B = \frac{1}{2}\)

\(A + B = 1 \wedge B - A = 0 \longrightarrow A = \frac{1}{2}\)

3. Substitueer.

\(\frac{y}{y² - 8} = \frac{A}{y + \sqrt{8}} + \frac{B}{y - \sqrt{8}}\)

\(\frac{y}{y² - 8} = \frac{\frac{1}{2}}{y + \sqrt{8}} + \frac{\frac{1}{2}}{y - \sqrt{8}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y + \sqrt{8}} + \frac{1}{y - \sqrt{8}}\right)\)

\(\int \frac{y}{y² - 8} \mbox{d}y = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y + \sqrt{8}} + \frac{1}{y - \sqrt{8}}\right)\mbox{d}y\)

Morzon

Je gaat toch geen ak47 gebruiken om een vlieg dood te maken

renee.dbr

Xenion schreef:
\(\int \frac{y dy}{y^2 - 8}\)
Je hoeft hier niet te vereenvoudigen zoals jij doet.

De afgeleide van de noemer is 2y, zie je hier dan geen substitutie in?

(...)

Zij*, mijn excuses

Haha, geen probleem, gebeurt altijd.

Ik heb nu de substitutie gedaan, alleen ik weet niet zeker of het goed is:

\(\int \frac{y dy}{y^2 - 8}\)

u = y^2 - 8 dus du = 2y

1/2 *

\(\int \frac{du}{u}\)

= 1/2 ln u + C

1/2 ln (y^2 - 8) + C

Om de som dan af te maken:

1/2 ln (y^2 - 8) = - 1/2 x^2 + C

ln (y^2 - 8) = - x^2 + C

y^2 - 8 = e^(- x^2 + C) = Ce^(x^2)

y^2 = Ce^(- x^2) + 8

y = (Ce^(x^2) + 8)^(1/2)

Sorry als ik vragen stel terwijl het voor de hand liggend is, ik ben gewoon niet zo een held met wiskunde. Ik hoop dat het klopt!

Oh, ik zie nu dat het niet bepaald klopt. Even goed naar de uitwerking kijken hoor.

Xenion

renee.dbr schreef:Om de som dan af te maken:

1/2 ln (y^2 - 8) = - 1/2 x^2 + C

ln (y^2 - 8) = - x^2 + C

y^2 - 8 = e^(- x^2 + C) = Ce^(x^2)

y^2 = Ce^(- x^2) + 8

y = (Ce^(x^2) + 8)^(1/2)

Lijkt me goed. Je bent in het rode stuk het minteken vergeten, dus het is wrs maar een typfout.

Oh, ik zie nu dat het niet bepaald klopt. Even goed naar de uitwerking kijken hoor.

Waar twijfel je dan aan? Misschien mis ik zelf ook iets, dat kan.

Voor de integraal: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integ...y%2F%28y^2-8%29

renee.dbr

Waar twijfel je dan aan?

Ik keek even scheel. Fijn, ik snap het nu! Die site is trouwens ook erg handig, die voeg ik gelijk toe aan mijn favorieten. Die tweede integraal zie ik nog niet maar ik weet niet of het heel belangrijk is om die nog preciezer uit te werken, aangezien ik C(x) ook kan schrijven als integraal van (2 sin x)/(e^(sinx).

Bedankt!

Xenion

maar ik weet niet of het heel belangrijk is om die nog preciezer uit te werken, aangezien ik C(x) ook kan schrijven als integraal van (2 sin x)/(e^(sinx)

Dat hangt er dan vanaf in welk kader je deze oefening krijgt, want die integraal is niet analytisch oplosbaar. (Toch niet met de klassieke technieken.)

Variatie van de constante levert hier dus iets onoplosbaar op, maar je kan zoals ik al zei ook zelf een voorstel voor de particuliere oplossing geven en dat dan in de originele vergelijking invullen om zo de coëfficiënten A en B te bepalen.

Als je rechterlid sin(2x) moet uitkomen, dan zou een lineaire combinatie van sin en cos 2x wel kunnen werken.

Je gaat toch geen ak47 gebruiken om een vlieg dood te maken

Lijkt me anders wel leuk, dat is dan ook waar de analogie met partieelbreuken verdwijnt

JWvdVeer

Lijkt me anders wel leuk, dat is dan ook waar de analogie met partieelbreuken verdwijnt

Conclusie: je vindt partieelbreuken niet zo leuk?

Zag zelf in eerste instantie niet direct dat je met substitutie kon werken (ben per slot van rekening geen wiskundige

), dus vandaar dat advies. En het advies had ook gewerkt als de TS het op die manier had uitgevoerd. Dus wat dat betreft niets te klagen...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Volgende stap in integraalvergelijking

Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking

Re: Volgende stap in integraalvergelijking