Differentiaalvgl

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-08-'10, 12:02

Skyliner

Gebruikersavatar
Berichten: 247

Differentiaalvgl

er staat een eenvoudige oefening in het begin van hoofdstuk DV,

Beginwaardeproblemen: los op:
\(y''(x)=cos(x)\)
waarbij
\(y(0)=0\)
en
\(y'(0)=1\)
maar ik vind de oplosmethode nogal vreemd. Ik denk toch dat dit een tweede orde DV is? of niet?

men lost de oefening op door substitutie, door te zeggen dat
\(z(x)=y'(x)\)
Ik dacht dat bij tweede orde DV's je eerst moest homogeniseren, dan een particuliere oplossing moest vinden...Of gewoon met constante coëfficiënten oplossen en zo herleiden tot een vierkantsvergelijking...
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 12:41

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Differentiaalvgl

Ik dacht dat bij tweede orde DV's je eerst moest homogeniseren, dan een particuliere oplossing moest vinden...Of gewoon met constante coëfficiënten oplossen en zo herleiden tot een vierkantsvergelijking...


Dat zal hier wel werken, maar je kan deze gewoon rechtstreeks integreren, dus waarom zou je al die moeite doen?
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 12:44

bessie

Re: Differentiaalvgl

Kun je de uitwerking en de vraag letterlijk weergeven?
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 12:49

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Differentiaalvgl

Ligt nogal voor de hand: door de gekozen substitutie wordt de 2de orde dv herleid tot een stelsel van 2 eerste orde dvs:
\(\left \{ \begin{array}{cc} z'(x) = & cos(x) \\ z(x) = & y'(x) \end{array}\)
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 13:10

Skyliner

Gebruikersavatar
Berichten: 247

Re: Differentiaalvgl

Uitwerking=
\(z(x)=y'(x)\Rightarrow z'(x)=cos(x)\Rightarrow\int{z'(x)}=\int{cos(x)}dx\)
\(z(x)=sin(x)+C\)
\(y'(x)=sin(x)+C\)
\(1=sin(0)+C\Rightarrow C=1\)
\(y'(x)=sin(x)+1\Rightarrow\int{y'(x)}=\int{sin(x)+1}dx\)
\(y(x)=-cos(x)+x+C\)
dus
\(0=-cos(0)+0+C\Rightarrow C=1\)
dit is de volledige uitwerking zoals ik ze achteraf (na de oplossing gezien te hebben) ook gedaan heb. Ik begrijp ze helemaal, maar ik had het via die andere methode gedaan. Die is veel onhandiger, want hier kan je inderdaad gewoon integreren, maar ik had er gewoon ni aan gedacht vermoed ik om het zo te doen. Omdat ik net het hoofdstuk van tweede orde DV heb gezien, en als je dan een y''(x) ziet staan denk je toch meteen aan zoiets?

Afin, dat weet ik dan voor de volgende keer
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”