Is het mogelijk om een quantum state te hebben, zodat iedere meting van de observabele Q dezelfde waarde heeft (noem dit q). Dit is de vraag die in mijn boek gesteld wordt.
Het bewijs is in principe niet zo moeilijk:
Als elke meting van Q als uitkomst q heeft, dan moet de standaard deviatie van Q uiteraard 0 zijn, oftwel
\( \sigma^2 = \left<( \hat{Q} - \left< Q \right>)^2 \right> = \left< \Psi | (\hat{Q} - q)^2 \Psi \right> = \left< (\hat{Q}-q)\Psi|({\hat{Q}-q)\Psi\right>=0\)
Het inproduct kan alleen 0 zijn als de functie zelf gelijk is aan 0, dus
\( \hat{Q}\Psi = q\Psi \)
Dus een meting aan zo'n state geeft altijd de eigenwaarde q.
Toch zit hier voor mij nog een 'grote' onduidelijkheid in. De definitie van variantie is toch altijd
\(\sigma^2 = \left< (x - \left< x \right>)^2 \right>\)
Maar hoezo heb je bij het bewijs in de 1e stap dan de OPERATOR
\(\hat{Q}\)
in plaats van Q ?
\(\left<(\hat{Q} - \left< Q \right>)^2 \right> \)
Je kunt van een operator toch geen getal
\(\left<Q\right>\)
aftrekken?..