Driehoek

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 29-08-'10, 20:58

lucca

Berichten: 758

Driehoek

Opgave

CD is hoogtelijn van driekhoek
\( ABC \)
,
\( AB=BC=10 \)
.

Bereken voor welke grootte van hoek
\( B \)
de oppervlakte van driekhoek
\( ACD \)
maximaal is.

uitwerking

zie allereerst afbeelding :
driehoek_1.png
driehoek_1.png (5.37 KiB) 568 keer bekeken
[1] de oppervlakte
\( A_{opp. ACD} = x * (\sqrt{10^2-(10-x)^2}) \)
\( A_{opp. ACD} = x * (\sqrt{100-(100-20x+x^2)}) \)
\( A_{opp. ACD} = x * (\sqrt{20x-x^2)}) \)
[2] de afgeleide
\( \frac{dA_{opp. ACD}}{dx} = x * \frac{(20-2x)}{2\sqrt{20x-x^2)}} + \sqrt{(20x-x^2)} \)

\( \frac{dA_{opp. ACD}}{dx} = 0 \)
\( \frac{(10x-x^2)}{\sqrt{20x-x^2)}} + \sqrt{(20x-x^2)} = 0 \)
\( (20x-x^2) = -(10x-x^2) \)
\( 2x^2-30x = 0 \)
\( x = 0 v. x = 15 \)
[3] probleem

15 is nogal vreemd, want lengte is maximaal 10.... Iemand een goede tip?bvd
Omhoog

Bericht 29-08-'10, 22:12

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Ik kon geen fout vinden na zoeken, en ik weet nu waarom.

Je antwoord klopt; vul eens in je afgeleide 15 in..

Als je twijfelt over je antwoord, probeer dan eens de vraag te beantwoorden en de maximale hoek te vinden.

Is er een mogelijke hoekgrootte voor hoek B zodat de hoogtelijn 15 is?
Omhoog

Bericht 29-08-'10, 22:31

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Mijn excuses, mijn conclusie was wat voorbarig volgens mij.

Als je een hoek wilt berekenen, kom je op hoek B=asin(1.5) met dat antwoord en dat heeft geen hoek.

Edit:

Let op dat de formule voor opp van driehoek 0.5hz is en niet hz..
\(x\frac{20-2x}{2\sqrt{20x-x^2}}+\sqrt{20x-x^2}=0\)
\(20x-2x^2=-2(20x-x^2) \)
\(20x-2x^2=2x^2-40x \)
\(4x^2-60x=0 \)
\(4x(x-15)=0\)
Nou ja..
Omhoog

Bericht 29-08-'10, 23:30

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Kijk naar de grafiek van je oppervlakte.

Die is stijgend tot CD=15. Je weet dat CD hooguit 10 is..

10 is dus het maximum. Als je die tekent, vind je een rechthoekige gelijkbenige driehoek met rechthoekszijden van 10. De hoogtelijn is bij deze driehoek dus tevens 10.
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 08:11

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Volgens mij wordt de Oppervlakte van de driehoek (als je de hoogtelijn naar links verschuift) steeds kleiner en naar rechts steeds groter..
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 09:08

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Driehoek

Hoek B is 120 graden. Ga dat na. Je berekening is correct.
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 15:43

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

@safe, de liggende zijde is 10 (en x is een onderdeel van die 10) dus x is kleiner of gelijk aan 10.

Ik kreeg 15 uit, hoe moet ik dat dan interpreteren?
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 16:23

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Driehoek

Je kan ook alles bekijken in functie van de hoek B, wat in feite logischer is, want dat is zo gevraagd,

lijkt mij een stuk eenvoudiger:
\(CD=10.sin{B}\)
\(BD=10.cos{B}\)
dus
\(x=10-10.cos{B}=10(1-cos{B})\)
A= opp driehoek ACD
\(A=\frac{AD.DC}{2}=\frac{10.10.sin{B}.(1-cos{B})}{2}=50.sin{B}.(1-cos{B})\)
als ik nu A afleid naar de hoek B:
\(\frac{dA}{dB}=50.(cos{B}-cos^2{B}+sin^2{B})=50.\left(cos{B}-cos{(2B)}\right)\)
\(\frac{dA}{dB}=0\)
als
\(cos{B}=cos{(2B)}\)
En als je deze vergelijking oplost, dan krijg je owel 0, ofwel
\(\frac{2\pi}{3}\)
0 geeft minimum, oppervlakte 0
\(\frac{2\pi}{3}\)
(120 graden) geeft maximum, zoals jullie al vermeldden...

en voor die hoek is x=15 en de hoogte van driehoek ACD=
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
wat dus voor A:
\(75.\sqrt{3}\)
geeft
---WAF!---
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 20:26

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Ja inderdaad, x=15, maar wat moet ik me hierbij voorstellen? (plaatje?)

Een stompe hoek B... maar CD moet toch loodrecht blijven op AB, dus dan verhuist CD helemaal naar rechts?
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 21:35

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Ik ga een wellicht riskante beweringen doen.

Bewering: De hoogtelijn |CD| is
\(5 \sqrt{3}\)
als
\(\angle ABC =120 \mathrm{graden}\)
Verder: van Driehoek ADC is nu |AD| de hoogtelijn van 15 (zijde AD; |AB|+|BD|=|AD|=10+5=15)

Van die driehoek is de oppervlakte
\(0.5 |AD| \cdot|CD|=0.5\cdot 15 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}=37.5\sqrt{3}\)
Onderbouwing: (kan iemand me zeggen wat ik fout doe?)

Teken voor visualisatie mee.

De driehoek is te vinden door een hoek B van 120 graden te tekenen met benen van 10.

Het andere uiteinde van een been is punt A.

Het andere uiteinde van het andere been is punt C.

Punt D ligt op het verlengde van AB zodat hoek ADC=90 graden.

Driehoek BDC is rechthoekig.
\(\angle DBC=180 \;\mathrm{graden} - \angle ABC\)
\(\angle ABC=120 \;\mathrm{graden}\)
\(\angle DBC=180 \;\mathrm{graden} - 120 \;\mathrm{graden} = 60 \;\mathrm{graden}\)
.
\(\mathrm{Zijde} |BC|=10\)
.
\(\mathrm{Zijde} |BD|=10\cos(60)=5\)
\(\mathrm{Zijde} |CD|=(10^2-5^2)^{0.5}=75^{0.5}=5*3^{0.5}\)
is de hoogtelijn.

De oppervlakte van een driehoek is te vinden met
\(0.5 \cdot \mathrm{hoogte}\cdot \mathrm{zijde}\)
Vergeet de factor 0.5 niet.

In deze driehoek ga je uit dat de hoogtelijn |AD| is. In de vraagstelling is de hoogtelijn |CD|.
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 21:52

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Driehoek

@trokkitrooi, zo ziet het eruit:
driehoek.JPG
driehoek.JPG (10.55 KiB) 571 keer bekeken
Klein correctie op m'n vorige post: de hoogte moest
\(10\frac{\sqrt3}{2}\)
zijn, en niet
\(\frac{\sqrt3}{2}\)
, ik was die factor 10 vergeten te vermelden, maar de rest klopt...

@drc, je bewering is niet riskant, maar correct. De hoogte van BC is dus idd
\(5\sqrt3\)
, en je berekening lijkt te kloppen, ze komt overeen met de berekening in mijn vorige post
---WAF!---
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 22:20

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Je tekening komt overeen met wat ik beschreef/probeerde te beschrijven. Dat is fijn.

Verschil in berekening is dat we een andere oppervlakte voor driehoek ADC vinden.

Verder ga ik al uit dat een hoek van 120 graden een maximale oppervlakte zal geven, en daar reken ik mee verder. Komt dan inderdaad op hetzelfde neer, pakt anders uit voor de berekening.

Een ander verschil met de opgave is dat in de opgave de hoogtelijn |CD| is, en dat in je tekening de hoogtelijn met lengte 15 ineens |AD| is. Als je zomaar zijden mag verwisselen is dat geen probleem? Of is er een andere reden dat de hoogtelijn veranderd van |CD| uit de opgave naar |AD| in de uitwerking?

Als de oppervlakte van een driehoek te vinden is met
\(\mathrm{zijde}\cdot \mathrm{hoogte}\)
klopt je bereking verder.
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 22:45

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Driehoek

Verschil in berekening is dat we een andere oppervlakte voor driehoek ADC vinden.
Je hebt gelijk hoor, ik vergat te delen door 2, slordig...
Verder ga ik al uit dat een hoek van 120 graden een maximale oppervlakte zal geven, en daar reken ik mee verder.
OK, geen probleem. Ik verwonderde me er alleen om dat je er zomaar van uit ging dat een hoek van 120 graden de maximale oppervlakte geeft, want dat is nu net het gevraagde! Daarom bewijs ik in mijn eerste post dat die hoek inderdaad 120 graden is, en dan pas bereken ik de oppervlakte van de maximale driehoek.


Een ander verschil met de opgave is dat in de opgave de hoogtelijn |CD| is, en dat in je tekening de hoogtelijn met lengte 15 ineens |AD| is. Als je zomaar zijden mag verwisselen is dat geen probleem? Of is er een andere reden dat de hoogtelijn verandert van |CD| uit de opgave naar |AD| in de uitwerking?
Hier begrijp ik je niet goed, ik verwissel toch helemaal geen zijden? In mijn tekening is de hoogtelijn van de driehoek ADC toch CD ? (met lengte 5wortel3) en de basis is toch AD (met lengte 15), net zoals in de opgave. Of D nu tussen A en B ligt of erbuiten, maakt toch niets uit? Welnu, opp. driehoek is toch basis x hoogte, gedeeld door 2...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 22:57

drc.

Berichten: 47

Re: Driehoek

Ik denk dat je verward bent door de vergelijking van trokkitrooi in zijn openingspost. Nou ja, nu klopt dat weer.

Mijn bezwaar voor de berekening is dat je eerst uitgaat van hoogtelijn |CD| en dan concludeert dat hoogtelijn |AD| 15 zal zijn. trokkitrooi merkte terecht op dat CD niet groter mag zijn dan 10 en volgens mij snap jij dat ook. Je basislijn |AD| kan niet opeens je hoogtelijn worden toch? Dat bedoel ik met verwisselen.

De vraagstelling:
trokkitrooi schreef: Opgave

CD is hoogtelijn van driekhoek
\( ABC \)
,
\( AB=BC=10 \)
.

Bereken voor welke grootte van hoek
\( B \)
de oppervlakte van driekhoek
\( ACD \)
maximaal is.
|CD| mag niet ineens de basislijn worden. Of begrijp ik iets verkeerd?
Omhoog

Bericht 30-08-'10, 23:26

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Driehoek

Ik denk dat we ondertussen elkaar wel begrijpen, maar dat er ergens een communicatieprobleem in de conversatie moet geslopen zijn, vrees ik:
Mijn bezwaar voor de berekening is dat je eerst uitgaat van hoogtelijn |CD| en dan concludeert dat hoogtelijn |AD| 15 zal zijn.
Je basislijn |AD| kan niet opeens je hoogtelijn worden toch?
|CD| mag niet ineens de basislijn worden
Ik probeer te begrijpen waarom jij denkt dat ik dit alles zo zou bedoelen, maar ik zie het niet echt, ik heb toch nergens geschreven dat AD een hoogtelijn is, of toch evenmin dat CD een basislijn is? Maar ach, deze discussie dreigt zinloos te worden. We kunnen misschien best even wachten tot de topicstarter opnieuw van zich laat horen of hij het nu ondertussen wat begrijpt, niet?
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”