Bewijsje

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 10-09-'10, 09:02

lucca

Berichten: 758

Bewijsje

Zij
\( A \subset \mathbb{R} \)
niet leeg en begrensd,
\(\epsilon > 0\)
. Laat zien: Er is een
\(x \in A\)
zodanig dat
\(x > supA - \epsilon \)
en er is een
\(y \in A\)
zodanig dat
\(y < infA + \epsilon\)
.

Het is handig om hier vanuit het ongerijmde te bewijzen, dus :

Zij :
\( \nexists x \in A : x > supA - \epsilon\)
maar we weten, A is begrensd, dus er is een waarde x welke gelijk is aan de kleinste bovengrens. De kleinste bovengrens is in dit geval SupA. Dus er is een x waarvoor geldt dat :
\( x = supA \)
maar stel een :
\( \epsilon > 0 \)
dan volgt uit de rekenregels dat :
\( x > sup A - \epsilon \)


maar dat is een tegenspraak! (nu nog voor y) Maar eerst een vraag aan jullie, is dit een beetje ''oké"? ](*,)
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 11:14

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Bewijsje

maar we weten, A is begrensd, dus er is een waarde x welke gelijk is aan de kleinste bovengrens.
Dit is volgens mij niet waar. Stel je hebt de verzameling {x | 0 < x < 1} dan is x wel begrensd, maar het supremum geen onderdeel van de verzameling.

Stel dat er geen waarde groter is dan (supremum(A) - epsilon) dan is supremum(A) kennelijk niet het supremum, want (supremum(A) - epsilon) is kleiner dan supremum(A) en groter dan elk element van A.
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 11:57

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijsje

Een bewijs uit het ongerijmde lijkt me hier ook makkelijk, probeer het eens langs deze weg:

Stel, er is géén
\(x\in A\)
zodat
\(x > \sup A - \epsilon\)
. Wat wil dat zeggen over het getal
\(\sup A - \epsilon\)
? (en denk aan de definitie van het supremum)

(oh sorry, laat maar, zie nu pas dat EvilBro al dezelfde hint had gegeven)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 17:32

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

@aanvulling :

dan is
\( sup A - \epsilon \)
de bovengrens, maar dan ook :
\( sup A - \epsilon < sup A \)
. Maar dan is sup A niet meer de kleinste bovengrens. En dat is een tegenspraak! zoiets?
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 17:55

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijsje

Jep.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 18:29

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

Rogier, Evilbro, dank! Wordt er gewaardeerd! ](*,)

Verder zit ik nog met het volgende probleem :

Zij
\( A,B \subset X \)


Dus stel (voorbeeld) :
\( A = \left\{ 1,2,3 \right\} \)
en :
\( f(x) = 2x \)
wat betekent dan precies :
\( f(A) \)
?

Is dat dan :
\( f(A) = f(1,2,3) = \left\{ 2,4,6 \right\} \)
? (wedge = intersect)

En zoja, stel dat je dan iets hebt van :
\( f (A \wedge B ) = f(A) \wedge f(B) \)
hoe bewijs je zoiets dan?
Omhoog

Bericht 10-09-'10, 19:45

thermo1945

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Bewijsje

trokkitrooi schreef:wat betekent dan precies :
\( f(A) \)
?

Is dat dan :
\( f(A) = f(1,2,3) = \left\{ 2,4,6 \right\} \)
?
Bestaat de functie van een verzameling?

f(1) = 2, f(2)= 4 f(3) = 6.
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 08:34

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

Ja schijnbaar, het is dan ook een vraag om aan te tonen dat :
\( f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) \)
Ik zou niet goed weten waar ik dan het bewijs zou moeten starten...
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 09:13

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

Ik heb een idee:
\( f(A) \cap f(b) = f(A \cap B) \)
dus : (1 kant)
\( f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \)
Maar we weten dat :
\( f(g) = c \)
met
\( g \in G \)
en
\( c \in C \)
Dus als we nu een verzameling in de functie hebben staan, krijg je ook een verzameling ''eruit''.

Laten we die voor
\( A , A_x\)
noemen en voor
\( B, B_x \)
dus stel :
\( x \in f(A \cap B) \)
dan
\( x \in ( A_x \cap B_x) \)
.

Maar dan zijn we er eigenlijk al, want :

dan staat er ook :
\( x \in A_x én x \in B_x \)
maar dan staat er precies de definitie :

dus :
\( x \in f(A) én x \in f(B) \)
dus :
\( x \in f(A) \cap f(B) \)
Wat vinden jullie hiervan?
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 09:16

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijsje

Zie
\( f(A) = f(1,2,3) = \left\{ 2,4,6 \right\} \)
?
Klopt!

Al noteer je dat niet als f(1,2,3), dan lijkt het een functie met 3 argumenten, eerder f({1,2,3}).

Dan het bewijs van die doorsnede... Probeer eens na te gaan wat er moet gelden als
\(x\in f(A)\)
of
\(y\in f(A\cap B)\)
?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 10:11

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

hmm.. bedoel je met de elementen y dan het beeld?

Volgens mij snap ik het nu niet helemaal (sorry.. ](*,) )
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 10:39

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijsje

Met x en y bedoelde ik gewoon 2 willekeurige elementen uit die twee verzamelingen.

Je hebt twee verzamelingen: f(A∩B) en f(A)∩f(B), en je moet aantonen dat die hetzelfde zijn. Dat kun je bijvoorbeeld doen door aan te tonen dat als een willekeurige x in de eerste zit, ook in de tweede moet zitten, en andersom idem.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 11:17

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

\( x \in f(A \cap B) \)
en je benoemt bijvoorbeeld :
\( f(A) = A_x \)
en
\( f(B) = B_x \)
dan :
\( x \in (A_x \cap B_x) \)
want dat is hetzelfde, maar dan ook :
\( x \in A_x \)
én
\( x \in B_x \)
, maar dan ben je er, want die heb je net gedefinieerd :
\( x \in f(A) \)
én
\( x \in f(B) \)
, wordt :
\( x \in f(A) \cap f(B) \)
Maar, waar klopt het hier ''niet''? ](*,)
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 16:19

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijsje

trokkitrooi schreef:
\( x \in f(A \cap B) \)
en je benoemt bijvoorbeeld :
\( f(A) = A_x \)
en
\( f(B) = B_x \)
dan :
\( x \in (A_x \cap B_x) \)
want dat is hetzelfde,
Nee dat moet je juist bewijzen :D/ (dat
\(A_x\ cap B_x = f(A \cap B)\)
bedoel ik)

Met bovenstaande stappen "bewijs" je alleen dat Ax=f(A) en Bx=f(B) ](*,)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 11-09-'10, 16:36

lucca

Berichten: 758

Re: Bewijsje

hmmm... ](*,)

maar dan weet ik niet heel goed waar ik met je hint naartoe moet (x element A) of etc.

Volgens mij is het helemaal niet moeilijk, maar zit ik op het foute spoor...
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”