Ongelijkheid

lucca

$ ||a|-|b|| \leqslant |a-b| $

bewijs :

$( ||a|-|b|| )^2 = (|a|-|b|)^2 = |a|^2 - 2 |a|*|b| + |b|^2 \leqslant |a|^2 + |b|^2 $

maarja, nu klets ik hem niet zomaar kleiner dan |a-b|..

Iemand een goede hint? ](*,)

In physics I trust

Je moet hem kleiner kletsen dan |a-b|².

dirkwb

Neem aan dat

$ |a| \geq |b| $

, dan moet er bewezen worden dat:

$ |a|-|b| \leq |a-b| $

$ |a| = |a-b+b| \leq |a-b| + |b| $

nu |b| aftrekken aan beide kanten.

In physics I trust

Die werkwijze is trouwens algemeen geldig: met de absolute-waardestreepjes rekenen is moeilijk, dus herschrijf de vergelijking voor de mogelijke gevallen: $Afbeelding$ . Vervolgens bewijs je het voor beide gevallen apart, maar deze gevallen zijn een pak eenvoudiger geworden.

lucca

@dirkwb

en als :

$ |a|< |b| $

dan :

$ -|a|+|b| \leq |a-b| $

, dus

$ -|a| = -|a+b-b| \geq -|a-b| - |b| $

dus (plus |b|)":

$ -|a|+|b| \geq -|a-b| $

dus :

$ |a|-|b| \leq |a-b| $

zoiets? ](*,)

dirkwb

$ |a|< |b| $
dan :

Als

$ a \leq b$

dan draai je a en b simpelweg om!

In physics I trust

trokkitrooi schreef:@dirkwb

en als :

$ |a|< |b| $
dan :

$ -|a|+|b| \leq |a-b| $
, dus ***

$ -|a| = -|a+b-b| \geq -|a-b| - |b| $
deze regel vind ik vreemd hoor (overbodig)

dus (plus |b|)":

$ -|a|+|b| \geq -|a-b| $
dit volgt onmiddellijk uit ***

dus :

$ |a|-|b| \leq |a-b| $
zoiets?

Verder doe je best gewoon zoals Dirkwb voorstelt ](*,)

lucca

Ok, trouwens ik heb nog een andere vraag (bij de volgende vraag:)

Laat zien : Voor alle

$ a,b \in R $

geldt

$ |a+b| \leq |a| + |b| $

Ik weet hoe ik het kan bewijzen, maar ik twijfel waar ik mee moet beginnen, moet ik een vaste waarde a en b kiezen?

dus mijn bewijs zou zo zijn (en dan aan jullie de vraag, is dat dan geheel correct)

bewijs

te bewijzen :

$ |a+b| \leq |a| + |b| $

Stel :

$a,b \in R $

Uit definitie volgt dat :

$ (|a+b|)^2 = (a+b)^2 $

maar dan ook :

$ (|a+b|)^2 = a^2 +2ab + b^2 $

maar dan volgt tevens :

$ (|a+b|)^2 \leq |a|^2 + 2|a|*|b| + |b|^2 = (|a| +|b|)^2$

hieruit volgt dat :

$ (|a+b|)^2 \leq (|a|+|b|)^2$

En dus :

$ |a+b| \leq |a|+|b| $

TD

Ziet er goed uit. Of:

-|a| ≤ a ≤ |a|

en

-|b| ≤ b ≤ |b|

optellen levert:

-(|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a|+|b|

waaruit eveneens:

|a+b| ≤ |a| + |b|

lucca

Oké , ook logisch! ](*,) Maar dat ik een vaste a en b pak, leidt er dus ook toe dat het voor elke willkeurige a,b geldt. Moet ik dat nog ergens vermelden? formeel gezien

TD

Schrijf dan bijvoorbeeld "Zij a, b willekeurig maar vast".

lucca

ok, dank!

en even nog een vraag over de vraag waarover ik dit topic startte, je bewijst dus voor |a| <= |b| en dan moet je nog bewijzen |a| >=|b| , maar dan zeg je : die mag je omdraaien, maar waarom mag dat? Omdat je absoluutstrepen hebt?

TD

Wat bedoel je precies? Dat is gewoon een ander geval; je bewijst de ongelijkheid dus in de twee mogelijke gevallen (a kleiner dan b of net omgekeerd).

lucca

Uhuh, dus dan krijg je :

zij

$ |b| \seq |a| $

dan :

$ -(|a|-|b|) = |b|-|a| $

maar nu kun je het hele bewijs overpennen, maar dan voor a = b en b = a , zo bedoelde ik het meer... klopt ?

@11.43 (dankje ](*,) )

TD

Het bewijs is inderdaad verder helemaal analoog.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Ongelijkheid

Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid