Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 758
zij
\( z = \tan{\frac{x}{2}} \)
laat zien dat :
\( \frac{dx}{dz} = \frac{2}{1+z^2} \)
Het lijkt nu handig impliciet te differentieren (toch?) ;
\( 1 = \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}} * \frac{x'}{2} \)
\( x' = 2 \cos^2{\frac{x}{2}} \)
nu kun je zeggen dat :
\( 1 + \tan^2{ t } = \frac{1}{\cos^2{t}} \)
(en dan subst. voor
\( t= \frac{x}{2} \)
) klopt dat een beetje?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Stel
\(t=\frac{x}{2}\)
\(z=\tan t \)
\(\frac{dz}{dt}=\frac{1}{\cos^2 t}\)
\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dt} . \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2} . \frac{1}{\cos^2 ( \frac{x}{2} )}\)
Nu nog dz/dx schrijven als dx/dz
-
- Berichten: 758
We hebben dus hetzelfde
Maar ik moet ook bepalen dat :
\( \sin{x} = \frac{2z}{1+z^2} \)
maar je zit met tangens met een halve hoek, hoe kun je dat aanpakken?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
\(1+z^2=1+\tan^2 ( \frac{1}{2} x )\)
\(1+z^2=1+ \frac{\sin^2 ( \frac{1}{2} x ) } {\cos^2 ( \frac{1}{2} x )}\)
\(1+z^2=\frac{1}{\cos^2 ( \frac{1}{2} x )}\)
Mocht je er niet uitkomen, dan geef ik de oplossing .
Bedenk dat 2.z = 2 .tan (1/2 .x) = 2. sin (1/2x) gedeeld door cos (1/2x)
-
- Berichten: 758
zij
\( z = \tan{\frac{x}{2}} \)
\( z = \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}} \)
\( z = \frac{2* \sin{\frac{x}{2}} * \cos{\frac{x}{2}}}{2 * \cos^2{\frac{x}{2}}} \)
\( z = \frac{\sin{(2*\frac{x}{2}})}{2 * \cos^2{\frac{x}{2}}} \)
\( \sin{x} = 2z * \cos^2{\frac{x}{2}} \)
en :
\( \cos^2{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+z^2} \)
dus :
\( \sin{x} = \frac{2z}{1+z^2} \)
zo correct, toch?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Je oplossing is volgens mij correct.
Alleen vind ik je oplossing nogal moeilijk te volgen.
Het kan denk ik wat eenvoudiger.
- scan0001.jpg (185.75 KiB) 145 keer bekeken
