Dimensies

Onwetend

Ik dacht dat over het volgende al een keer een topic had geopend, maar ik kan deze niet vinden dus waarschijnlijk was ik het wel van plan maar is het er niet van gekomen. Echter, mede naar aanleiding dit topic, nu dus alsnog.

We hebben het er steeds over dat de ruimte waarin wij leven 3-dimensionaal is, dat er 3 dimensies/richtingen zijn welke de ruimte vormen, meestal x,y en z genoemd.

Echter is dit puur een model wat wij als mensen gecreeerd hebben. Het is een model wat wij gebruiken om de ruimte te kunnen beschrijven/definieren, maar heeft natuurlijk geenzins betrekking op de daadwerkelijke realiteit. In werkelijkheid leven we niet in een drie dimensionale ruimte, er is ofwel 1 richting, ofwel oneindig veel richtingen. De scheiding tussen richtingen is er puur 1 die wij gecreeerd hebben, omdat een rechte hoek ons mooi uitkomt. Iets van 2D bestaat immers ook niet in onze 3D wereld.

aestu

Wel ja, je assen hoeven niet loodrecht op elkaar te staan, ze moeten wel lineair onafhankelijk zijn en de ruimte voortbrengen.

De ruimtetijd wordt immers beschreven door een variëteit. En dat is (heel grof gezegd) een abstract beest dat een 'omgeving' heeft, een omgeving waarvoor er een afbeelding bestaat die de punten van die omgeving projecteert op R^n.

Wat ik wil zeggen is dat de variëteit een dimensie heeft en daaruit de bijhorende dimensie van R^n volgt en dus ook het nodige aantal basisvectoren.

ZVdP

Ik weet niet wat jij onder dimensie verstaat, maar in de natuurkunde komt dat gewoon overeen met het minimum aantal getallen dat je nodig hebt om elk punt van de ruimte een unieke coördinaat te geven. En dat zijn er 3 (4 als je tijd meeneemt in je coördinatenstelsel).

Dus ik zie niet waar jij "er is ofwel 1 richting, ofwel oneindig veel richtingen" vandaan haalt.

bessie

Jouw grote fout is het door elkaar heen gebruiken van dimensie en richting. Die twee zijn in het geheel niet synoniem. Je bewijslast klopt dus niet want inderdaad je kan oneindig veel richtingen uitwijzen maar dat wil niet zeggen dat er ook zoveel dimensies zijn.

Rogier

Jouw grote fout is het door elkaar heen gebruiken van dimensie en richting. Die twee zijn in het geheel niet synoniem. Je bewijslast klopt dus niet want inderdaad je kan oneindig veel richtingen uitwijzen maar dat wil niet zeggen dat er ook zoveel dimensies zijn.

Dat ja, TS: hou in de gaten dat het aantal dimensies het aantal onafhankelijke richtingen is. Dat zijn er hoogstens 3 in onze ruimte, andere richtingen kun je dan altijd als lineaire combinatie* van de eerste 3 maken.

(* dat wil zeggen iedere richting is te schrijven als aP+bQ+cR met P,Q,R de drie onafhankelijke richtingen (vectoren) waar je mee begon, en a,b,c reële getallen)

Onwetend

Ik weet niet wat jij onder dimensie verstaat, maar in de natuurkunde komt dat gewoon overeen met het minimum aantal getallen dat je nodig hebt om elk punt van de ruimte een unieke coördinaat te geven. En dat zijn er 3 (4 als je tijd meeneemt in je coördinatenstelsel).

Ten eerste denk ik dus dat die noodzakelijkheid waar je het over hebt, niet voorkomt uit de natuur, maar uit de beperking van ons menselijk denken. Er zijn dus ook manieren om een punt met slechts 2 coordinaten weer te geven, net zoals er manieren zijn om een punt dmv 4 coordinaten weer te geven. Het zijn puur en alleen modellen. Wij hebben toevallig voor 3D gekozen.

Het hele verhaal van 2 en 3 dimensies wat je vaak wordt voorgeschoteld, suggereert dat er voor de 2D mensen nog een extra (groep van) richting(en) is, de 3e dimensie, maar dat zij die richting(en) niet kunnen waarnemen. Evenzo zou er ook in onze 3D (of event. 4D) wereld een (groep van) richting(en) zijn die wij niet kunnen waarnemen. maar zo'n 4e richting is er dus niet, net zoals een wereld met slechts 2 richtingen, omdat er niet daadwerkelijk 3 richtingen zijn, maar omdat dat slechts ons model is.

ZVdP

Er zijn dus ook manieren om een punt met slechts 2 coordinaten weer te geven

Het is altijd leuk wanneer je een claim ook onderbouwt.

Onwetend

Het is altijd leuk wanneer je een claim ook onderbouwt.

Ja eh sorry dit is zo'n basisbeginsel dat het volgens mij niet te onderbouwen valt. iets als 1+1=2 beargumenteren. dat kan ik niet

Ik kan je wel een voorbeeld geven: Neem een bolletje wol. Dan kan ieder willeukerig punt binnen dit bolletje wol worden gegeven door slechts 1 coordinaat, namelijk de lengte van het touw op dat punt.

Rogier

Onwetend schreef:Ja eh sorry dit is zo'n basisbeginsel dat het volgens mij niet te onderbouwen valt. iets als 1+1=2 beargumenteren. dat kan ik niet

Ik kan je wel een voorbeeld geven: Neem een bolletje wol. Dan kan ieder willeukerig punt binnen dit bolletje wol worden gegeven door slechts 1 coordinaat, namelijk de lengte van het touw op dat punt.

Een stuk touw is dan ook een 1-dimensionale ruimte, ongeacht of het tot een kluwe is opgevouwen of niet.

Kun je ook met 1 coördinaat iedere plek op de aardbol aangeven? (ik denk het niet, omdat het aardoppervlak niet 1-dimensionaal is)

Of met 1 of 2 coördinaten iedere plek in de ruimte? (ik denk het ook niet, omdat de ruimte niet 1- of 2-dimensionaal is)

mcs51mc

Ik kan je wel een voorbeeld geven: Neem een bolletje wol. Dan kan ieder willeukerig punt binnen dit bolletje wol worden gegeven door slechts 1 coordinaat, namelijk de lengte van het touw op dat punt.

Dit klopt niet

Het moet zijn: ieder punt langs het wollen draadje!

Punten in de bol naast de draad kan jij niets over zeggen ](*,)

Edit: Wat neerkomt op wat Rogier 2 minuten voor mij ook wist te vertellen

Math-E-Mad-X

Ja eh sorry dit is zo'n basisbeginsel dat het volgens mij niet te onderbouwen valt.

Dit is zeker geen basisbeginsel. De vraag is hier of je een 1-dimensionale (of 2-dimensionale) ruimte kunt inbedden in een 3-dimensionale ruimte zodanig dat hij er dicht in ligt. Dan kun je ieder punt in elk geval benaderen met één coordinaat. Eerlijk gezegd weet ik niet of dat wel of niet kan, en het eventuele bewijs daarvan is behoorlijk ingewikkeld.

Maar daarnaast, moet je je ook bedenken dat zelfs als dat al zou kunnen, dan nog zou dat een absurde manier zijn om punten aan te geven. Twee punten op een kluwe wol kunnen vlak bij elkaar liggen in de 3-dimensionale ruimte, maar meters ver van elkaar verwijderd zijn als je langs de draad "loopt" van het ene punt naar het andere. De 1-dimensionale coordinaat zou dus geen recht doen aan de afstanden tussen de punten.

De enige manier om een punten in onze ruimte te beschrijven, zodanig dat je er afstanden mee kan berekenen is met drie coordinaten.

Rogier

De enige manier om een punten in onze ruimte te beschrijven, zodanig dat je er afstanden mee kan berekenen is met drie coordinaten.

Aan de andere kant is dat ook een beetje tricky voor een 2-dimensionale ruimte zoals het aardoppervlak. Met welk 2D coördinatensysteem wil je dat voor elkaar krijgen? (het probleemgebied zit hem vooral op en rond de polen, en langs die naad aan de achterkant waar 180º oosterlengte overgaat in 180º westerlengte)

eendavid

Dit is zeker geen basisbeginsel. De vraag is hier of je een 1-dimensionale (of 2-dimensionale) ruimte kunt inbedden in een 3-dimensionale ruimte zodanig dat hij er dicht in ligt.

De vraag is of er een inverteerbare afbeelding bestaat van een 1-dimensionale ruimte naar een 3 dimensionale ruimte. Dan (en alleen dan) zou je een 3-dimensionale ruimte kunnen parametriseren met de punten van de 1-dimensionale ruimte. De zwakkere eis dat er een dichte inbedding bestaat correspondeert hier niet mee (ik zou ook niet weten of dit kan). Het antwoord is neen, de vraag herleidt zich immers naar het bestaan van een inverteerbare afbeelding

\(f:\rr\rightarrow\rr^3\)

.

edit: Rogier, het is zo dat \(S^2\) 2 coördinaat-patchen nodig heeft, maar dat verandert er niets aan dat de afstand langs een kromme in

\(S^2\)

goedgedefinieerd is.

Rogier

Het antwoord is neen, de vraag herleidt zich immers naar het bestaan van een inverteerbare afbeelding
\(f:\rr\rightarrow\rr^3\)
.

Maar zo'n functie bestaat wel degelijk, ik kan er zo een construeren. (toelichting:

Verborgen inhoud

)

Rogier, het is zo dat \(S^2\) 2 coördinaat-patchen nodig heeft, maar dat verandert er niets aan dat de afstand langs een kromme in
\(S^2\)
goedgedefinieerd is.

Klopt, ik ben het er natuurlijk mee eens dat het boloppervlak S² een 2-dimensionale ruimte is. Maar ik weet zo even gauw geen sluitend criterium om bijvoorbeeld bolcoördinaten wel goed te keuren, maar een 1-dimensionaal coördinatensysteem tezamen met bovengenoemde bijectie (of vlak-/ruimtevullende peano-krommen of dat soort foefjes) niet.

Wellicht iets met dat de verzameling van discontinuïteitspunten van het coördinatensysteem geen inwendige punten (punten waar een heel gebiedje omheen is te leggen dat volledig binnen de verzameling valt) mag bevatten ofzo.

eendavid

Ieder getal in (0,1) heeft een decimale schrijfwijze 0,d₁d₂d₃... dus waarbij d_i de decimalen zijn.

Deze schrijfwijze is niet uniek, dus zowel afbeelding als inverse afbeelding zijn niet goed-gedefinieerd. Ik ben echter te snel geweest om het niet-bestaan als triviaal waar af te doen, hoewel het standaardbewijs dat de kardinaliteit gelijk is ons niet verderhelp ('overfilling').

Kortom, ik ben nog niet zo overtuigd van de mogelijkheid van een 1-d coördinatisering, maar ik kan de onmogelijkheid niet in 1-2-3 aantonen.

edit: Als ik continuïteit van de afbeelding zou eisen is het wel aan te tonen dat zo'n afbeelding niet bestaat. Het is me echter niet duidelijk waarom ik continuïteit zou mogen eisen...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Dimensies

Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies

Re: Dimensies