\( \sum a_n \)
een reeks met positieve termen. Te bewijzen : Als
\( \lim_{k \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1 \)
dan is \( \sum a_n \)
convergent.bewijs
veronderstel dat :
\( \lim_{k \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1 \)
dan :\( \frac{a_{n+1}}{a_n} < \frac{r+1}{2} = q < 1 \)
voor n groot genoeg. (\( * \)
)maar dan :
\( a_{n+1} < q * a_n \)
\( a_{n+k} < q^k * a_n \)
maar \( q^k a_n \)
is een meetkundige reeks, met \( \vert q \vert < 1 \)
, zie \( * \)
.dat houdt in dat deze meetkundige reeks convergeert.
Maar
\( a_{n+k} \)
is kleiner dan bovengenoemde meetkundige reeks. Maar dan is de meetkundige reeks een convergente majorante, en dus convergeert \( \sum a_n \)
ook.Kan dit een beetje? (of mis ik stappen/notatie), bvd!
