Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
zijn, en q een element van ](*,) is, dat het volgende dan geldt:
Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.Lauwratjuh schreef:Ik stuit op het volgende bij de uitleg van een bewijs:
We weten dat tussen elk paar reële getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.
Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen.
Zo iets als dit had ik inderdaad ook al bedacht alleen kom ik niet uit het algemeniseren omdat ik niet weet waar ik moet beginnen.Fernand schreef:Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.
Misschien kan je je de volgende redenering veralgemenen
sqrt(101) = 10.04987....
sqrt(102) = 10.0995...
Dit zijn twee irrationale getallen.
Er is altijd een decimale plaats te vinden waar het eerste en tweede getal een verschil vertoont.
Hier is dit bij de 4 en 9 honderdsten.
Je kan dan een breuk maken welke er tussen ligt. in het voorbeeld 10.06
Probeer deze redenering algemeen te formuleren zodat je een algemeen bewijs hebt.
Dat komt dan ook omdat 0,9999999...=1maar zoals gezegd is dat maar de helft van het 'bewijs'. Want als ik de getallen 0,99999999..... (een reeel getal met oneindig veel negens) en 1 neem, zie ik geen tussenliggend getal.
Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?Rogier schreef:Hier even een ander spoor om je op weg te helpen:
Bekijk eens het getal\(k=\left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor+1\), dat is een natuurlijk getal zodanig dat x en y meer dan 1/k uit elkaar liggen (als x en y weinig verschillen is k heel groot).
Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Bekijk nu eens de getallen n/k voor\(n\in\zz\)(dat zijn uiteraard rationale getallen), deze liggen als volgt rond x en y:
Enig idee nu?
Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?
De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reële getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.Dat laatste stukje snap ik ook nog niet helemaal, waarom die getallen op die manier rond x en y liggen, hoe kom je daaraan?
Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.Rogier schreef:Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.
Bijvoorbeeld: als x en y bijna 1/10 verschillen (maar meer dan 1/11), wat is dan k?
Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reële getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.
Aangezien y-x > 1-k past er meer dan één zo'n stapje tussen x en y in. Of anders gezegd er ligt in ieder geval één heel stukje 1/k tussen x en y.
Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reële getallen af naar beneden.Lauwratjuh schreef:Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.
Als ze bijna 1/10 verschillen,dan is k bijna 11 maar kleiner dan 12 toch?
(eh sorry, 1/k ja)Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....
Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.Het maakt dus inwezen niet uit waar je x en y plaatst zolang je maar y>x neemt
Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.en een afstand tussen die twee neemt die groter is dan 1/k. Ik wil even zeker zijn dat ik het begrijp, vandaar dat ik het even herhaal.
Die haken kende ik nog niet.Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reële getallen af naar beneden.
Ik zie nog niet helemaal hoe dit kan helpen.Dus als y-x bijna 1/10 is (maar meer dan 1/11), is 1/(y-x) ruim 10 (maar minder dan 11), dus\(\lfloor 1/(y-x) \rfloor\)is exact 10, dus k is exact 11.
een foutje is zo gemaakt ](*,)(eh sorry, 1/k ja)
Dat klopt dat x kleiner is dan y zo was het inderdaad gegeven.Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.
Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.
Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.Nu nog een rationaal getal maken dat tussen x en y in ligt (dat kan makkelijk met behulp van k).
Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.
Tot hier snap ik hem nog.Rogier schreef:Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:
We noemen n/k het 1/k-stapje dat net voor x ligt (of wat precies x is, wat zou kunnen als x toevallig een 1/k-veelvoud is). Als je n kunt bepalen, dan ben je er, want (n+1)/k is dan een geschikt getal q.
Welnu, x is een bepaald aantal keer 1/k. Hoe vaak? Nou, een geheel aantal keer plus een beetje (dat is altijd zo). Dat geheel aantal keer is hier n, zie je dat?
Maar je weet toch niet wat x precies is doordat het n/k+iets is. Of heb je hiervoor dan de entier-functie nodig om dat iets te bepalen?Kun je n uitdrukken in x en k? (denk aan de entier-functie)
