1) Ik neem aan dat f een symmetrische functie is, waar ik mee wil zeggen dat f dezelfde waarde geeft als je bijvoorbeeld k_x vervangt door -k_x. Als je wil weten of dit fysisch inderdaad zo is moet je dit even nagaan in de context van deze wiskunde. Maar trouwens, aangezien f blijkbaar enkel afhankelijk is van de norm van \vec{k}, dan hebben we al meteen het symmetrisch zijn van f. Voor symmetrische functies geldt
\(\int_0^a f = \frac{1}{2}\int_{-a}^a f\)
omdat
\(\int_{-a}^0 f(x)dx = -\int_{0}^{-a} f(x)dx = -\left( -\int_{0}^{a} f(-x)d(-x) \right) = \int_0^a f(x) dx\)
2) Definieer k, theta en phi als volgt:
\( k_x = k \sin \phi \cos \theta\)
\( k_y = k \sin \phi \sin \theta\)
\( k_z = k \cos \phi\)
Dit is de vertrouwde transformatie, want inderdaad, je kan nagaan dat k dan de norm is van de \vec{k}.
Wanneer je de variabelen waarover je integreert transformeert moet je de jacobiaan erin steken. Die factor is dan de evenredigheidsfactor tussen het oppervlak opgespannen door
\(dk_x dk_y dk_z\)
en
\(d \phi d \theta dk\)
. Je hoeft daar niet per sé de jacobiaan voor te gebruiken: je kan geometrisch makkelijk nagaan dat de volgende relatie geldt:
\(dk_x dk_y dk_z = k^2 \sin \phi d \phi d \theta dk\)
.
Nu je kan geometrisch ook inzien dat aangezien we over heel de ruimte integreren (-\infty tot \infty voor elke k_i) we phi van -pi naar pi, theta van 0 tot 2pi en k van 0 tot oneindig moeten laten integreren (want k is de straal, phi de hoek tussen de straal en de z-as en theta de hoek tussen de projectie van de straal op het xy-vlak en de x-as).
Zodoende geldt dus
\(\int \int \int_{\textrm{ruimte}} f(\vec k) dk_x dk_y dk_z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_{-\pi}^{\pi} \sin \phi d\phi \int_{0}{\infty} k^2 f(k) dk = (2\pi)(2)\int_{0}^{\infty} k^2 f(k) dk\)
QED
