\( \forall x,y, \in \rr \)
met \( x < y \)
is \( \exp(x) < \exp(y) \)
bewijs : Veronderstel
\( x , y \in \rr \)
willekeurig, maar vast. Bovendien : \( x < y \)
. Maar dan ook :
\( x + \epsilon = y \)
, met \( \epsilon > 0 \)
Per definitie geldt : [1]
\( \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \)
[2]
\( \exp(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{k!} \)
Maar [2] kan ook geschreven worden als :
\( \exp(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+\epsilon)^k}{k!} \)
Trek nu [2] af van [1] :
\( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+\epsilon)^k}{k!} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = \)
\( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+\epsilon)^k - x^k }{k!} \)
(beide sommaties zijn namelijk convergent)veronderstel nu :
\( (x+\epsilon)^k - x^k = q_k > 0\)
Dit leidt tot :
\( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{q_k}{k!} = \)
\( q_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{q_k}{k!} > 0 \)
(de sommatie is immers groter gelijk aan 0)Dus volgt :
\( \exp(y) - \exp(x) > 0 \)
en dan :
\( \exp(x) < \exp(y) \)
Mijn vraag, klopt dit een beetje?
