Ik heb een vraag ivm een tussenstap in mijn curcus wiskunde:
Voor het bepalen van de wortels van meerderegraadsvergelijkingen in het domein van de complexe getallen is het vaak nodig om deze vergelijking te schrijven als een product van lagere-graads vergelijkingen.
Als voorbeeldoefening in mijn curcus werd er gevraagd om de wortels van de volgende 12-de graadsvergelijking te bepalen:
x^12 -1 = 0
In mijn curcus werden eventuele tussenstappen overgeslaan en werd deze vergelijking ontbonden in:
(x-1)(x+1)(x²-((3)^(1/2))x+1)(x²-x+1)(x²+1)(x²+x+1)(x²-((3)^1/2)x+1)=0
Mijn excuses voor de soms onduidelijke notering, maar ik weet niet hoe in vierkantswortels anders moet schrijven dan als x^1/2.
Het is geen dringende vraag, maar ik zou bijzonder dankbaar zijn moest iemand van jullie mij de uitleg kunnen geven hoe ik dergelijke hogere-graadsvergelijkingen kan ontbinden, zodat ik dit zelf kan voor andere hogere-graadvergelijkingen!
Alvast bedankt!
Laatste berichten
-
16:45
wig 8
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 8.614
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ben je bekend met merkwaardige producten zoals
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
en \(a^3\pm b^3=(a-b)(a^2\mp ab+b^2)\)
?Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 5
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ja de merkwaardige producten zijn geen probleem, maar ik moet de vergelijking zodanig ontbinden dat ik 12 mogelijke oplossingen heb voor x om de vergelijking nul te laten bekomen.
Het probleem is dat dit ook zou moeten lukken bij een 14de graads vergelijking of dergelijk, want volgens de wet van D'Alembert heeft iedere n-de graadsvergelijking n oplossingen (in het domein van de complexe getallen).
Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.
Alvast bedankt voor de snelle reply!
Het probleem is dat dit ook zou moeten lukken bij een 14de graads vergelijking of dergelijk, want volgens de wet van D'Alembert heeft iedere n-de graadsvergelijking n oplossingen (in het domein van de complexe getallen).
Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.
Alvast bedankt voor de snelle reply!
-
- Berichten: 74
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ontbinden is in het geval vanGeertcaesar schreef:Ja de merkwaardige producten zijn geen probleem, maar ik moet de vergelijking zodanig ontbinden dat ik 12 mogelijke oplossingen heb voor x om de vergelijking nul te laten bekomen.
Het probleem is dat dit ook zou moeten lukken bij een 14de graads vergelijking of dergelijk, want volgens de wet van D'Alembert heeft iedere n-de graadsvergelijking n oplossingen (in het domein van de complexe getallen).
Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.
Alvast bedankt voor de snelle reply!
\(z^{12} - 1 = 0\)
niet eens nodig. Je kunt het getal 1 als complexe e-macht schrijven. (formule van Euler) Je bekomt dan dus de vergelijking \(z^{12} = 1 = e^{k*2\pi i}\)
Dus z = ...-
- Berichten: 24.578
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Hier zit een tekenfoutje in, het moet zijn:\(a^3\pm b^3=(a-b)(a^2\mp ab+b^2)\)
\(a^3\pm b^3=(a \pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 581
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.
\(x^{12}-1=(x^6 +1)(x^6 -1)\)
klopt, maar je kan nog verder gaan, je kan beide factoren nog verder ontbinden mbv de formules die hierboven (post TD) gegeven zijn, dan ben je al een stap verder, tenslotte moet je dan overgaan naar \(\mathbb{Z}\)
, waar \((x^2+1)=(x-i)(x+i)\)
Kom je nu al wat verder?---WAF!---
-
- Berichten: 5
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Westy schreef:\(x^{12}-1=(x^6 +1)(x^6 -1)\)klopt, maar je kan nog verder gaan, je kan beide factoren nog verder ontbinden mbv de formules die hierboven (post TD) gegeven zijn, dan ben je al een stap verder, tenslotte moet je dan overgaan naar\(\mathbb{Z}\), waar\((x^2+1)=(x-i)(x+i)\)Kom je nu al wat verder?
Dit verklaart een aantal stappen die gegeven zijn in de oplossing van de oefening. Maar ik snap niet hoe je kan ontbinden en de vierkantswortel van 3 kan bekomen?
-
- Berichten: 5
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ja er zijn inderdaad meerdere mogelijkheden om de wortels van de vergelijking te zoeken. Zelf doe ik het door het te schrijven als z= 1^(1/12) = 1^+(1/12)*(cos((0+2kpi)/12)+isin((0+2kpi)/12)) | waarbij k (0,1,2,.....,11)Ontbinden is in het geval van\(z^{12} - 1 = 0\)niet eens nodig. Je kunt het getal 1 als complexe e-macht schrijven. (formule van Euler) Je bekomt dan dus de vergelijking\(z^{12} = 1 = e^{k*2\pi i}\)Dus z = ...
De oefening oplossen is geen probleem, ik vroeg mij gewoon af hoe je op zicht kan zien hoe je een bepaalde vergelijking moet ontbinden zodat je voor iedere deelvergelijking verschillende wortels bekomt, en het aantal wortels gelijk is aan de graad van de vergelijking.
-
- Berichten: 581
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ergens in je ontbinding kom je onderandere
\(x^4+x^2+1\)
tegen. Hierin substitueer je \(x^2=y\)
zodat je een vierkantsvergelijking in y krijgt, die je kan oplossen met de discriminantmethode. Hier is \(D=-3\)
zodat \( \sqrt{D}=i\sqrt{3} \)
. Daarvan komt die \( \sqrt{3} \)
. Je mag natuurlijk niet vergeten in je ontbinding y terug te substitueren naar \( x^2 \)
, en dan je weer wat verder ontbinden. En zo blijf je maar doorgaan tot je de 12 factoren hebt...---WAF!---
-
- Berichten: 5
Re: Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking
Ah inderdaad zo ver had ik nog niet gedacht... Bedankt !!!
