Na een beetje veel zoeken, denk ik een bewijs gevonden te hebben.
Graag je mening en opmerkingen erover
Opgave :
Als voor alle n
\(|A_{n+1 }- A_n| < r^n \)
met 0<r<1 ,
dan moet er voor elke epsilon moet een N bestaan zo dat
Voor alle m > n > N geldt |A_m - A_n| < epsilon (*)
Bewijs
----------------
Nu werd hierboven in een bericht reeds aangetoond dat
\( |A_m - A_n| < r^{m-1} + r^{m-2}+ ... + r^n \)
dus
\( |A_m - A_n| < r^n ( 1+ r + \ldots + r^{m-n} ) \)
\( |A_m - A_n| < r^n ( 1+ r + \ldots )\)
\( |A_m - A_n| < \frac{r^n}{1-r} \)
voor alle m > n
---------------------
We hernemen de uitdrukking (*) en vervangen ze voortdurend door een VOLDOENDE voorwaarde.
Let op de omgekeerde pijlen.
\( \forall m > n > N : |A_m - A_n| < \epsilon \)
<=
\( \forall n > N : \frac{r^n}{1-r} < \epsilon \)
<=
\( \forall n > N : r^n < \epsilon .(1-r) \)
<=
\( \forall n > N : n \ln ( r ) < \ln( \epsilon .(1-r)) \)
<=
\( \forall n > N : n > \frac {\ln( \epsilon .(1-r)) }{ \ln ( r )} \)
Kies nu een willekeurige
\( \epsilon\)
en neem nu
\( N > \frac {ln( \epsilon .(1-r)) }{ \ln ( r )} \)
We zien nu dat N van n afhangt, en bovendien moet m> n
En nu zal
\( \forall n > N : n > \frac {ln( \epsilon .(1-r)) }{ \ln ( r )} \)
en we kunnen met de omgekeerde pijlen naar boven opklimmen.
en zal zeker voor alle epsilon een N bestaan zodat
\( \forall m > n > N : |A_m - A_n| < \epsilon \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
