Mijn uitwerking:
Neem m,n>N dan volgt met m>n z.v.v.a.:
----------------------------------------------dirkwb schreef:Bewijs dat de rij A(n) Cauchy is als hij de volgende eigenschap heeft:
\(|A_{n+1 }- A_n| < r^n \)met\( 0<r<1 \)Mijn uitwerking:
Neem m,n>N dan volgt met m>n z.v.v.a.:
\(|A_m-A_n| \leq |A_m - A_{m-1}| + |A_{m-1} - A_{m-2}| + ... + |A_{n-1} -A_n|<...< r^{m-1} + r^{m-2}+ ... + r^n < (m-n)r^n <(m-n)r^N \)en hoe nu verder?
Ik zie geen foutdirkwb schreef:Ik denk dat ik het heb:
Kies\( \epsilon = \frac{1-r}{N}\)Is dit correct?
Het lijkt allemaal juist maar ik heb er een raar gevoel bij.\(|A_m-A_n| \leq |A_m - A_{m-1}| + |A_{m-1} - A_{m-2}| + ... + |A_{n-1} -A_n|<...< r^{m-1} + r^{m-2}+ ... + r^n < \frac{1}{1-r} < \frac{N}{1-r}\)
na een nachtje slapen ...dirkwb schreef:Ik denk dat ik het heb:
\(|A_m-A_n| \leq |A_m - A_{m-1}| + |A_{m-1} - A_{m-2}| + ... + |A_{n-1} -A_n|<...< r^{m-1} + r^{m-2}+ ... + r^n < \frac{1}{1-r} < \frac{N}{1-r}\)Kies\( \epsilon = \frac{1-r}{N}\)Is dit correct?
Je hebt gelijk vermoed ik, je mag niet zomaar met N vermenigvuldigen. Jouw bewijs is inderdaad correct.Fernand schreef:Bij bovenstaande keuze van epsilon hebben we
dan
\(|A_m-A_n| < 1 / \epsilon \)en dan is
|A_m-A_n| NIET kleiner dan een willekeurig getal
maar dan is
|A_m-A_n| kleiner dan een groot getal 1/epsilon
en dat gaat niet want epsilon moet je willekeurig klein kunnen kiezen en die keuze :dirkwb schreef:Je hebt gelijk dan kies ik:
\( \epsilon = \frac{N}{1-r}\)