317070 schreef:Coole functie inderdaad
(...)
Edit: dit doet me wat denken aan de Riemann-Zeta functie... met die +1/2 enzo
\(P = \cos \left( \frac{\pi}{2} \,{\frac {\Gamma \left( s \right) +1 }{s}} \right) \)
Er lijken inderdaad parallellen te bestaan tussen beide functies. Zo kent de Zeta-functie triviale nulpunten (negatieve integers) en non-triviale nulpunten (op de lijn
\(s= \frac12 + yi \)
). Ook de P-functie heeft triviale oplossingen (integers die altijd priem zijn) en non-triviale nulpunten (alle non-integer oplossingen)
Er is natuurlijk een hele makkelijke manier of zowel de
\(\Gamma(s)\)
kwijt te raken alswel een directe link naar de Zeta-functie te maken:
\(\zeta(1-s) = 2 (2 \pi)^{-s} \cos(\dfrac{s \pi}{2}) \Gamma(s) \zeta(s)\)
\(\Rightarrow \Gamma(s) = \dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \dfrac{1} {2 (2 \pi)^{-s} \cos \left( \dfrac{s \pi}{2} \right) }\)
\(\Rightarrow P = \cos \left( \frac{\pi}{2} \,{\frac {\dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \dfrac{1} {2 (2 \pi)^{-s} \cos \left( \dfrac{s \pi}{2} \right) } +1 }{s}} \right) \)
Nu ontstaat de interessante situatie waarin als je de gehele functie met
\(s > 0, s \in \mathbb{R}\)
doorloopt, de distributie van alle priemgetallen bepaald wordt (alle geheeltallige nulpunten zijn immers priem). Tegelijkertijd zit er in de 'buik' van deze cosinus de Zeta-functie, die volgens de Riemann-hypothese enkel non-triviale nulpunten genereert voor complexe getallen op de lijn
\(\frac12 \pm yi\)
. De oneindige som van deze non-triviale nulpunten vormt dan weer een belangrijke component in de priemtelfunctie en zegt daarmee dus ook iets over de distributie van priemgetallen.
Maar helaas...
...als we immers
\( s \in \mathbb{C}\)
de vorm
\(\frac12 \pm yi\)
laten aannemen, dan geldt voor alle y dat:
\(\lim_{s \to \frac12 + yi} {\dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)}\)
= 1
Daarmee verdwijnt dus de hele invloed van de non-triviale nulpunten van Zeta functie op de P-functie. Dat levert dus niks op.
Het enige dat je zou kunnen poneren, is dat de Zeta-functie ook in het niet complexe bereik informatie over de priemdistributie bevat (dat is eigenlijk precies wat de bovenstaande P-functie zegt na het omschrijven). Maar waarom die non-triviale nulpunten dan zodanig diep verbergen, dat ze geen helemaal geen invloed op het vinden van de volgende priem uitoefenen?
Waar zit dan die diepere connectie? Hij moet ergens in het analytisch continueren van de Zeta-functie zelf zitten.
Nog een andere poging om iets meer te vinden:
De cosinus functie wordt nul zodra
\(\cos \left( \frac{2k+1}{2} \pi \right)\)
met
\( k =0,1,2..., k \in \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow (2k +1) s = {\dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \dfrac{1} {2 (2 \pi)^{-s} \cos \left( \dfrac{s \pi}{2} \right) } +1 } \right) \)
Niet alle nulpunten van de P-functie zijn echter priem (een minderheid zelfs). Tussen 2 en 3 zitten geen andere (non-triviale) nulpunten, maar tussen bijvoorbeeld 3 en 5 zitten er al 25. Daarna wordt het al lastig tellen door de hoge dichtheid. Hoe filter je nu uit alle nulpunten diegene die geheeltallig (=priem) zijn? Geldt dit voor s = integer? Heeft het wellicht iets te maken met de
\({\dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \)
die integer wordt?
