Bestaat er een algemene formule voor het i,j de element van matrix B, met B gelijk aan de k-de macht van n x n matrix A in functie van alle i-j de elementen van de initiële matrix A?
Neem bijvoorbeeld een willekeurige diagonaalmatrix D met E = D^k
\(e_{i,j} = d_{i,j}^k\)
Als zo'n algemene formule niet bestaat, bestaat ze dan voor een matrix in Jordan Canonical Form ? (eigenwaarden op hoofddiagonaal en (eventueel) enen op de superdiagonaal ?
Ik heb in mijn cursus een formule staan voor exp(tD) en exp(tJ) maar er staat niet vanwaar dat komt. Ik zou graag die formule zelf kunnen afleiden via D^k en J^k en eventueel (voor het bewijs van convergentie) A^k. Ik ben aan het lezen in "Differential equations, dynamical sytems and an intrduction to chaos" van Hirsch als ik mijn referentie goed vanbuiten ken.
Bestaat er een algemene formule voor het i,j de element van matrix B, met B gelijk aan de k-de macht van n x n matrix A in functie van alle i-j de elementen van de initiële matrix A?
Die formule bestaat zeker. Als je het kunt uitrekenen, kun je er een formule voor maken. Hij wordt wel complexer en complexer naarmate je macht toeneemt. (Het is geen eenvoudige formule.)
Het gemakkelijkste is nog altijd het gewoon steeds zelf uitrekenen, naargelang de eigenschappen van je matrix.
Misschien is het eenvoudiger om de specifieke vraag te geven waarvoor je die formule zou gebruiken, want deze piste zal niet de elegantste piste zijn.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
Ik zocht gewoon een formule voor de k-de macht van een Jordan canonical form. Ik dacht die te vereenvoudigen via de formule van de k-de macht van een alemene matrix. Maar door iteratie kon ik al vlug gemakkelijk zien wat de formule zou zijn.
Ik hoopte alleen op een iets formelere (adhv een bestaande formule) afleiding dan gewoon zelf een aantal iteraties doorlopen en op zoek gaan naar een patroon. Want strikt gezien kan je toch wikundig niet gaan stellen als een bepaald patroon aanwezig blijft na n iteraties dat automatisch dit patroon ook aanwezig blijft na n + k iteraties met k > 0 ?
Het belanrijkste is dat ik inderdaad zie hoe een Jordan Canonical Form evolueert na k vermenigvuldigingen met zichzelf. Ik had kunnen verwachten dat zo'n formule voor een algemene matrix veel complexer zou zijn.
beanbag schreef:Ik zocht gewoon een formule voor de k-de macht van een Jordan canonical form. Ik dacht die te vereenvoudigen via de formule van de k-de macht van een alemene matrix. Maar door iteratie kon ik al vlug gemakkelijk zien wat de formule zou zijn.
Ik hoopte alleen op een iets formelere (adhv een bestaande formule) afleiding dan gewoon zelf een aantal iteraties doorlopen en op zoek gaan naar een patroon. Want strikt gezien kan je toch wikundig niet gaan stellen als een bepaald patroon aanwezig blijft na n iteraties dat automatisch dit patroon ook aanwezig blijft na n + k iteraties met k > 0 ?
Wel, dat kun je (vrij eenvoudig) zelf ook bewijzen:
Je hebt enerzijds dat je een Jordan-matrix kunt schrijven als een diagonaalmatrix, met op alle diagonaalelementen een matrix i.p.v. een getal (die gedragen zich identiek als gewone matrices trouwens).
Daarnaast kun je een regel voor de k-de macht bij matrices gemakkelijk bewijzen via een inductiebewijs. Dus stel dat het geldt voor n, bewijs dat het ook geldt voor n+1. Je moet hiervoor meestal gewoon het product een symbolisch uitvoeren.
