vraag :
Laat
\( W (W = (W_t : t \geq 0)) \)
een brownian motion zijn. Laat zien dat het proces \( -W \)
ook een brownian motion is.mijn antwoord :
\( W (W = (W_t : t \geq 0)) \)
is een brownian motion dus geldt :[1]
\( W_0 = 0\)
[2] \( \forall s \leq t : W_t - W_s \)
onafhankelijk van \( W_u : u \leq s \)
[3] \( \forall s \leq t , W_t - W_s \)
~ \( N(0, t-s)\)
[4] the random functie \( t \to W_t \)
is continu met kans 1.Dus nu moet ik dit ook laten zien voor
\( -W \)
[1] \( -W_0 = 0\)
dit is op grond van rekenregels o.k.
[2]
\( \forall t \leq t : -W_t - (- W_s) \)
onafhankelijk van \( -W_u : u \leq s \)
je hebt te maken met een vermenigvulding -1, maar dat verandert eigenlijk niks. [3]
\( \forall S \leq t , -(W_t - W_s) ~ N(0,(-1)^2 t-s)\)
De variantie blijft gelijk, omdat -1^2 weer 1 wordt[4] the random functie
\( t \to -W_t \)
is continu met kans 1.Blijft continu, je draait hem alleen maar t.o.v. de x -as.
dus is ook een brownian motion!
