Stelsels vergelijkingen met parameters

Ge64

Ik zit vast met een probleem waarvan ik denk dat ik het antwoord wel weet maar op de een of andere manier kom ik er totaal niet uit.

Het gaat om stelsels vergelijkingen waar ook een extra onbekende (p) in zit, met de vraag voor welke p het stelsel 0, 1 of

$\infty$

oplossingen heeft. Ik krijg ze aangeleverd als volgt:

$$2x_1 - 8x_2 + 3x_3 = 16\\-1x_1 + 2(p-1)x_2 - 1x_3 = 32\\2px_1 - x_2 - 2x_3 = 29$$

Dan zet ik hem dus om naar een matrix vorm:

$\left[\begin{array}{ccc|c}2 & -8 & 3 & 16\\-1 & 2(p-1) & -1 & 32\\2p & -1 & -2 & 29\\\end{array}\right]$

En ga ik hem reduceren, maar dan kom ik niet ver. Wat is hier de bedoeling?

Fernand

Wat is hier de bedoeling?

Het is betrekkelijk eenvoudig dit stelsel te bespreekn als je op de hoogte bent van

rang van een matrix

hoofdvergelijkingen en nevenvergelijkingen in een stelsel

Heb je daar iets over gezien?

Is dit niet het geval dan moeten we anders werken.

---------------

Bereken eens de determinant van de coefficientenmatrix en kijk voor welke p die determinant nul is.

dan kunnen we verder

Uomo Universale

^Hoofdvergelijkingen en nevenvergelijkingen heb ik zelf nog niets over gehoord maar enkel via kennis over de rang (en determinant) van de matrix zou je er ook moeten komen, niet?

Ge64: Denk eerst eens algemeen na wanneer een stelsel 0, 1 of Afbeelding

oplossingen zal hebben, en dan kan je misschien van die algemene gedachte overschakelen naar dit specifieke geval.

Ge64

Ik weet dat er met zo'n stelsel van 3 vlakken een aantal mogelijkheden zijn. Ze kunnen allemaal parallel zijn (0 oplossingen), in 1 punt samenkomen (1 oplossing) of in een of meerdere lijnen samenkomen (

$\infty$

oplossingen).

Ik weet ook dat als je door te reduceren een rij in de matrix kan verkrijgen waarbij alle coefficienten nul zijn maar de uitkomst niet, de matrix dus geen oplossingen heeft (dat kan namelijk niet). Ik kan echter verder nergens iets vinden over hoe ik de rest van de vragen kan beantwoorden en of die waardes van p dan de enige waardes zijn waarvoor het stelsel geen oplossingen heeft. Bovendien krijg ik bij het reduceren op een gegeven moment erg ingewikkelde coefficienten waardoor rekenfouten makkelijk te maken worden. Ik heb dus ook het idee dat ik het niet op de goede (makkelijkste) manier aanpak. Wat is de strategie die ik hier moet toepassen?

Alvast bedankt voor de hulp.

Fernand

Komt dat probleem uit de ruimtemeetkunde?

Gaat het over drie vlakken?

Dan kan je met de normaalvectoren werken en zo een meetkundige interpretatie geven

Is dat de bedoeling?

Ge64

Het probleem is puur theoretisch en gaat alleen om de lineaire algebra. De drie vergelijkingen in het stelsel stellen per definitie een vlak voor als je het op die manier interpreteert, dat is slechts een manier om het te visualiseren. In feite gaat het nergens om een vlak maar puur om de vraag voor welke waarden p het stelsel een bepaald aantal oplossingen heeft.

Fernand

Ken je de regel van Cramer om een stelsel op te lossen?

Uomo Universale

Als het enkel om de lineaire algebra gaat, denk ik dat je er kan geraken mits enige kennis over rangen en determinanten. Heb je hier al iets over gezien?

Zo ja, kijk dan eens wat je rang van de matrix is en voor welke rang de oplossingen van deze matrix 0, 1 of oneindig worden..

Ge64

De regel van Cramer is dat zo'n stelsel precies 1 oplossing heeft wanneer de matrix inverteerbaar is, dwz de matrix heeft determinant ongelijk aan 0.

Ik heb geprobeerd de determinant uit te rekenenen van het voorbeeld en ik kwam uit op

$$-12p^2+8p+37$$

. Met de abc-formule kom ik dan uit op:

$$p = \frac{8 \pm \sqrt{1840}}{24}$$

waarbij

$$\sqrt{1840}$$

geen geheel getal is, dus lijkt dit me fout.

Ge64

De regel van Cramer is dat zo'n stelsel precies 1 oplossing heeft wanneer de matrix inverteerbaar is, dwz de matrix heeft determinant ongelijk aan 0. Laat ik dus beginnen met de determinant uit te rekenen:

Na 3 keer proberen heb ik een goed antwoord:

$$\det = -12p^2 + 20p +25$$

Nu met de abc-formule:

$$\det = 0$$

wanneer

$$p = \frac{5}{6} \vee p = \frac{5}{2}$$

Dat wil zeggen dat voor deze waarden van p het stelsel 0 of oneindig veel oplossingen heeft. Hoe kan ik nu verder? Ik neem aan dat ik deze 2 waarden kan invullen en daarmee de echelonvorm bepalen en aan de hand daarvan concluderen of het stelsel dan 1 of oneindig veel oplossingen heeft, klopt dit? Of is er een makkelijkere manier om dit alles te doen?

(p.s. het forum laat me mijn vorige bericht niet meer wijzigen)

Fernand

Na 3 keer proberen heb ik een goed antwoord:
$$\det = -12p^2 + 20p +25$$
Dat wil zeggen dat voor deze waarden van p het stelsel 0 of oneindig veel oplossingen heeft. Hoe kan ik nu verder? Ik neem aan dat ik deze 2 waarden kan invullen en daarmee de echelonvorm bepalen en aan de hand daarvan concluderen of het stelsel dan 1 of oneindig veel oplossingen heeft, klopt dit? Of is er een makkelijkere manier om dit alles te doen?
De twee waarden zijn volgens mij -5/6 en 5/2

De methode die je voorstelt is OK.

Als de determinant niet nul is is er voor het stelsel juist 1 oplossing.

Als je die oplossing niet gevraagd is moet je hem niet berekenen.

Als je p vervangt door-5/6 dan heeft het stelsel oneindig veel oplossingen

Je kan ze berekenen op de manier die je beschrijft

analoog voor p = 5/2

Fernand

ter info

Er is een plaats op het net waar alles over stelsels systematisch wordt uitgelegd.

Er is een indeling van alle mogelijke stelsels met een voorbeeld

Als je dit volgt kan je heel efficient zelf stelsels behandelen

http://home.scarlet.be/math/nl/stels2.htm

Fernand

In bericht 11 schreef ik

Fernand schreef:Als je p vervangt door-5/6 dan heeft het stelsel oneindig veel oplossingen

Je kan ze berekenen op de manier die je beschrijft

Dit is niet helemaal juist.

Het kan ook zijn dat er geen oplossingen zijn.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Stelsels vergelijkingen met parameters

Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters

Re: Stelsels vergelijkingen met parameters